2020届高考数学一轮复习单元检测09《直线与圆》提升卷单元检测B 理数（含解析）

单元检测九　直线与圆(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1 B．－1

C．－2或－1 D．－2或1

答案　D

解析　①当a＝0时，y＝2不合题意．

②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝，则＝a＋2，得a＝1或a＝－2.

2．经过直线l1：2x－3y＋2＝0与l2：3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是(　　)

A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0

C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0

答案　C

解析　联立两条直线的方程得解得x＝14，y＝10.所以l1，l2的交点坐标是(14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线方程为4x－2y＋c＝0(c≠7)，因为4x－2y＋c＝0过l1与l2的交点(14,10)，所以c＝－36，所以所求直线方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0.故选C.

3．坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

解析　直线x－2y＋2＝0的斜率k＝，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.故选A.

4．已知△ABC的顶点A(0,1)，B(4,3)，C(1，－1)，则AB边上的中线的方程是(　　)

A．x＋2y－3＝0 B．3x＋y－4＝0

C．3x－y－4＝0 D．3x－y＋3＝0

答案　C

解析　AB的中点为(2,2)，又由C(1，－1)，得AB边上的中线方程为y－2＝3(x－2)，化简得3x－y－4＝0.故选C.

5．若直线ax－by＋1＝0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　∵把圆的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax－by＋1＝0上，∴－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－22＋≤，当b＝时，ab取得最大值.

6．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)

A. B．－

C．－或－ D．－或

答案　C

解析　由已知可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，

解得a＝－或a＝－.

7．已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的所有取值构成的集合是(　　)

A．{1，－1,3，－3} B．{5，－5,3，－3}

C．{1，－1} D．{3，－3}

答案　A

解析　由题意得两圆心之间的距离d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1,3，－3.故选A.

8．已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围是(　　)

A．R B.

C. D.

答案　C

解析　圆C：2＋(y＋1)2＝1－k2，因为过点P作圆C的切线有两条，所以点P在圆C外，从而解得－<k<.故选C.

9．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．5－4 B.－1

C．6－2 D.

答案　A

解析　圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标为A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3，|PM|＋|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径，即－1－3＝5－4.

10．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋a＝0，圆C与直线x＋2y－4＝0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，则实数a的值为(　　)

A．－B.C.D.

答案　C

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于OA⊥OB，

所以x1x2＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋4＝0.(*)

联立直线和圆的方程，消去y得5x2－8x＋4a－16＝0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

代入(*)式得a＝.

11．已知点M(2，－3)，点N(－3，－2)，直线ax－y－a＋1＝0与线段MN相交，则实数a的取值范围是(　　)

A．－≤a≤4 B．－4≤a≤

C．a≤－或a≥4 D．a≤－4或a≥

答案　D

解析　∵直线ax－y－a＋1＝0与线段MN相交，∴点M，N在直线ax－y－a＋1＝0的两侧，或在直线ax－y－a＋1＝0上，又M(2，－3)，N(－3，－2)，∴(2a＋3－a＋1)(－3a＋2－a＋1)≤0，∴(a＋4)(－4a＋3)≤0，∴(a＋4)(4a－3)≥0，∴a≥或a≤－4.

12．对于函数y＝f(x)，y＝g(x)，若存在x0，使f(x0)＝－g(－x0)，则称M(x0，f(x0))，N(－x0，g(－x0))是函数f(x)与g(x)的一对“雷点”．已知f(x)＝，g(x)＝kx＋1，若函数f(x)与g(x)恰有一对“雷点”，则实数k的取值范围为(　　)

A. B.

C.∪ D.∪

答案　C

解析　令y＝，整理得(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)，它表示圆心为(－2,0)，半径为1的半圆(x轴上方)，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示．

由g(x)＝kx＋1知，g(x)的图象为过定点P(0,1)的直线l，易求得直线l与y轴右侧半圆相切时的斜率k＝－，直线PA，PB的斜率分别为－1，－，故实数k的取值范围为∪.故选C.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．直线xcosα＋y＋b＝0(α，b∈R)的倾斜角的取值范围是__________．

答案　∪

解析　∵直线的斜率k＝－cosα，α∈R，

∴－1≤k≤1，

∴直线的倾斜角的取值范围为∪.

14．当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，实数m的值为________．

答案　－1

解析　直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2,1)，所以当PQ与直线垂直时，点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大，即m·＝－1，所以m＝－1.

15．已知动直线l：(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝9相交，则相交弦中的最短弦的长度为________．

答案　2

解析　由(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0，可得2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0.令解得即动直线l过定点A(－1，－2)．定点A显然在圆C内，故当CA⊥l时，相交弦最短，即×＝－1，解得λ＝－，此时直线l：x＋y＋3＝0，所以最短弦的长度为2＝2.

16．已知在平面直角坐标系xOy中，圆O1：x2＋y2＝9，圆O2：x2＋(y－6)2＝16，若在圆O2内存在一定点M，过点M的直线l被圆O1，O2截得的弦分别为AB，CD，且＝，则定点M的坐标为________．

答案　

解析　因为＝总成立，且知过两圆的圆心的直线截两圆弦长之比是＝，所以点M在两圆圆心的连线上．因为圆心连线的方程为x＝0，所以可设M(0，y0)，当直线l的斜率不存在时，显然满足题意，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋y0，因为＝，所以＝，解得y0＝或y0＝－18(此时点M在圆O2外，舍去)，故定点M的坐标为.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)已知直线l过点(2,1)，且在x轴，y轴上的截距相等．

(1)求直线l的一般方程；

(2)若直线l在x轴、y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值．

解　(1)①当截距为0时，直线l：y＝x，即x－2y＝0；

②当截距不为0时，设直线l：＋＝1，

将(2,1)代入，得t＝3，

所以直线l的方程为x＋y－3＝0.

综上，直线l的方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.

(2)由题意得直线l：x＋y－3＝0，

所以a＋b＝3，

所以3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝时等号成立．

所以3a＋3b的最小值是6.

18．(12分)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．

(1)求公共弦AB所在的直线方程；

(2)求公共弦AB的长；

(3)求圆心在直线y＝－x上，且经过A，B两点的圆的方程．

解　(1)由

解得或即A(－4,0)，B(0,2)，

所以直线AB的方程为x－2y＋4＝0.

(2)由(1)得|AB|＝2.

(3)圆心在直线y＝－x上，设圆心坐标为M(x，－x)，

由|MA|＝|MB|，

得＝，

解得M(－3,3)，|MA|＝，

所以⊙M：(x＋3)2＋(y－3)2＝10.

19．(13分)已知曲线C上任意一点到原点的距离与到E(3，－6)的距离之比均为1∶2.

(1)求曲线C的方程；

(2)设点P(1，－2)，过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于A，B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值．

(1)解　设曲线C上的任意一点为Q(x，y)，

由题意得＝，

所以曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.

(2)证明　由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，点P(1，－2)在曲线C上，

故可设PA：y＋2＝k(x－1)，

由

得(1＋k2)x2＋2(1－k2－4k)x＋k2＋8k－3＝0，

因为点P的横坐标1一定是该方程的解，

故可得xA＝，

同理可得，xB＝，

所以kAB＝＝

＝＝－，

故直线AB的斜率为定值－.

20．(13分)(2018·江苏四市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．

(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求直线l的方程；

(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．

解　(1)由题知，圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，

所以圆心C(2,0)，半径为2.

因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，

所以直线l的斜率为＝1，

设直线l的方程为x－y＋m＝0，

则圆心C到直线l的距离为d＝＝.

因为|MN|＝|AB|＝＝2，

而|CM|2＝d2＋2，所以4＝＋2，

解得m＝0或m＝－4，

故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.

(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，

又|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，

整理得x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，

所以点P既在圆C上，又在以(0,1)点为圆心，2为半径的圆上．

因为|2－2|<<2＋2，

所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，

所以点P的个数为2.