2020届高考数学一轮复习单元检测12《概率随机变量及其分布》提升卷单元检测 理数（含解析）

单元检测十二　概率、随机变量及其分布(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为(　　)

A.B.C.D.

答案　C

解析　由题意知X，Y应满足Y＝2X，所以满足题意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三种，所以概率为＝.

2．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为(　　)

A.B.C.D.

答案　D

解析　从中有放回地取2次，所取号码的情况共有8×8＝64(种)，其中编号和不小于15的有3种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，共3种．

由古典概型概率公式可得所求概率为P＝.

3．已知ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)

A.B．1－C.D．1－

答案　B

解析　根据几何概型得，取到的点到O的距离大于1的概率P＝＝＝＝1－.

4．欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4cm的圆，它中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为(　　)

A.B.C.D.

答案　A

解析　由题意得，所求的概率为＝，故选A.

5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为(　　)

A.B.C.D.

答案　C

解析　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：

P＝＋×＝.

6.如图所示，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O作为起点作射线OC，OD，则使∠AOC＋∠BOD＜45°的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　设∠AOC＝x°，∠BOD＝y°，把(x，y)看作坐标平面上的点，则试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤90,0≤y≤90}，若事件A表示∠AOC＋∠BOD＜45°，则其所构成的区域为A＝{(x，y)|x＋y<45,0≤x≤90,0≤y≤90}，即图中的阴影部分，故S阴影＝×45×45.由几何概型的概率公式，得所求概率P(A)＝＝.

7．有一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张笑脸，若翻到笑脸，则不得奖，参加这个游戏的人有三次翻牌的机会．某人前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌获奖的概率是(　　)

A.B.C.D.

答案　B

解析　因为20个商标有5个中奖，翻了两个都中奖，所以还剩18个，其中还有3个会中奖，所以这位观众第三次翻牌获奖的概率是＝.故选B.

8．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则其速度超过120的概率为(　　)

A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2

答案　C

解析　由题意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜120)＝0.7，

则P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3.

∴P(ξ＞120)＝P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.

则他速度超过120的概率为0.15.

9．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)

A．0.4B．0.6C．0.75D．0.8

答案　D

解析　设“某一天的空气质量为优良”为事件A, “随后一天的空气质量为优良”为事件B，

则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，

∴P(B|A)＝＝＝0.8.

10．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)等于(　　)

A.2B．3C．4D．5

答案　C

解析　p＝1－－＝，

E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，则a＝3，

∴D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，

∴D(2X－3)＝22D(X)＝4.

11．(2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学考试)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为(　　)

A.B.C.D.

答案　B

解析　由题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，

其中比赛进行了3局的概率为××＋××＝，

∴所求概率为÷＝.

12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：an＝如果Sn为数列的前n项和，那么S7＝3的概率为(　　)

A．C2·5 B．C2·5

C．C2·5 D．C2·5

答案　B

解析　据题意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选B.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若某人在打靶时连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是______________．

答案　两次都未中靶

14．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．(骰子为正方体，且六个面分别标有数字1,2，…，6)

答案　

解析　由题意得，基本事件总数为36，点P落在圆内包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，

由古典概型概率公式可得所求概率为＝.

15．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，c为常数，则P(0.5<ξ<2.5)＝________.

答案　

解析　随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，

∴＋＋＝1，

即＝1，解得c＝，

∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)

＝＋＝×＝.

16．某篮球运动员投中篮球的概率为，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的概率是________．(结果用分数表示)

答案　

解析　“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，

故“投篮3次至多投中1次”的概率是C·2·＋C·3＝.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，.

(1)现3人各投篮1次，求3人至少一人投进的概率；

(2)用ξ表示乙投篮4次的进球数，求随机变量ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ)．

解　(1)记“甲投篮1次投进”为事件A，“乙投篮1次投进”为事件B，“丙投篮1次投进”为事件C，“至少一人投进”为事件D.

P(D)＝1－P()P()P()＝.

(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，

且ξ～B，

所以，P(ξ＝k)＝Ck4－k (k＝0,1,2,3,4)，

故随机变量ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，

D(ξ)＝.

18．(12分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示．

(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x的值及乙组同学投篮命中次数的方差；

(2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10的同学中，各随机选取1名，求这2名同学的投篮命中次数之和为16的概率．

解　(1)依题意得＝－1，解得x＝6，乙＝，

s2＝

＝1.76.

(2)记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A1，A2，A3，他们的命中次数分别为9,8,7.

乙组投篮命中次数低于10次的同学为B1，B2，B3，B4，他们的命中次数分别为6,8,8,9.

依题意，不同的选取方法有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，共12种．

设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件C，其中恰含有(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B4)，共3种．

∴P(C)＝＝.

19．(13分)(2018·武汉重点中学模拟)某校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间(每月用手机时间总和)的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在[0,30)，第二类的时间区间在[30,60)，第三类的时间区间在[60,720](单位：小时)，并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对该校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图.

(1)求这1000名学生每月用手机时间的平均数；

(2)利用分层抽样的方法从1000名选出10名学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；

(3)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X为获奖学生人数，求X的均值E(X)与方差D(X)．

解　(1)平均数为5×0.010×10＋15×0.030×10＋25×0.040×10＋35×0.010×10＋45×0.006×10＋55×0.004×10＝23.4(小时)．

(2)由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，则从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为＝.

(3)由题可知，这1000名学生中第一类学生占80%，

则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，

则连续10个月抽取，获奖人数X～B(10,0.8)，其均值E(X)＝np＝10×0.8＝8，方差D(X)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6.

20．(13分)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.

(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

(2)若对在[15,25)，[25,35)的被调查的人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及均值．

附：K2＝.

解　(1)2×2列联表如下：

因为K2≈6.272<6.635，所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异．

(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝×＝×＝，

P(ξ＝1)＝×＋×

＝×＋×＝，

P(ξ＝2)＝×＋×

＝×＋×＝，

P(ξ＝3)＝×＝×＝，

所以ξ的分布列是

所以ξ的均值

E(ξ)＝0＋1×＋2×＋3×＝.