人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品测试题

这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品测试题，共4页。试卷主要包含了用括号中的方法解下列方程等内容，欢迎下载使用。

类型之一 一元二次方程的有关概念


1．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则( B )


A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝－2 D．m≠±2


【解析】 由一元二次方程的定义知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|m|＝2，,m＋2≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝±2，,m≠－2，)) ∴m＝2.


2．设x2，x2是方程x2－x－2 013＝0的两实数根，则x13＋2 014x2－2 013＝__2__014__.


3．已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式eq \f(x－3,3x2－6x)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2－\f(5,x－2)))的值．


解：∵x2－2x＋1＝0，∴x1＝x2＝1，


∴原式＝eq \f(x－3,3x（x－2）)÷eq \f(x2－9,x－2)


＝eq \f(x－3,3x（x－2）)×eq \f(x－2,（x＋3）（x－3）)＝eq \f(1,3x（x＋3）)＝eq \f(1,12).


类型之二 一元二次方程的解法


4．用括号中的方法解下列方程：


(1)5(x＋1)2＝eq \f(4,5)(直接开平方法)；


(2)9(x－2)2＝4(x＋1)2(因式分解法)；


(3)4x2＋5＝12x(配方法)；


(4)2x2－3x－1＝0(公式法)．


【解析】 (1)把方程化为形如(x＋m)2＝n(n≥0)的形式后，直接开平方；


(2)运用平方差公式因式分解；


(3)把方程化为一般形式，再配方；


(4)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值，代入公式中计算．


解：(1)原方程可化为(x＋1)2＝eq \f(4,25)，


两边同时开方，得x＋1＝±eq \f(2,5)，


即x＋1＝eq \f(2,5)或x＋1＝－eq \f(2,5)，


∴x1＝－eq \f(3,5)，x2＝－eq \f(7,5)；


(2)原方程可化为[3(x－2)]2－[2(x＋1)]2＝0，


∴[3(x－2)＋2(x＋1)][3(x－2)－2(x＋1)]＝0，即(5x－4)(x－8)＝0，


∴5x－4＝0或x－8＝0，∴x1＝eq \f(4,5)，x2＝8；


(3)移项，得4x2－12x＝－5，


∴x2－3x＝－eq \f(5,4)，


配方，得x2－3x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(5,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))eq \s\up12(2)，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝1，∴x－eq \f(3,2)＝±1，


∴x1＝eq \f(5,2)，x2＝eq \f(1,2)；


(4)∵a＝2，b＝－3，c＝－1，


b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－1)＝17＞0，


∴x＝eq \f(－（－3）±\r(17),2×2)＝eq \f(3±\r(17),4)，


∴x1＝eq \f(3＋\r(17),4)，x2＝eq \f(3－\r(17),4).


5．关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为( A )


A．k<1 B．k>1 C．k<－1 D．k>－1


【解析】 ∵关于x的一元一次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即4－4k＞0，k＜1.


类型之三 一元二次方程根的判别式


6．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( D )


A．k＞－1 B．k＜1且k≠0


C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠0


7．关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是( C )


A．2 B．1


C．0 D．－1


8．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b＝0有两个相等的实数根，则b的值是__0或4__．


9若|b－1|＋eq \r(a－4)＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是__k≤4且k≠0__．


10．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0


(1)求出方程的根；


(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？


解： (1)根据题意得m≠1，


Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，


∴x1＝eq \f(2m＋2,2（m－1）)＝eq \f(m＋1,m－1)，


x2＝eq \f(2m－2,2（m－1）)＝1，


(2)由(1)知x1＝eq \f(m＋1,m－1)＝1＋eq \f(2,m－1)，


∵方程的两个根都是正整数，


∴eq \f(2,m－1)是正整数，


∴m－1＝1或2.


∴m＝2或3.


类型之四 一元二次方程根与系数的关系


11．已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足eq \f(1,α)＋eq \f(1,β)＝－1，则m的值是( A )


A．3 B．1


C．3或－1 D．－3或1


12．已知关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α、β，则(α＋3)(β＋3)＝__9__．


13．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2.


(1)求实数k的取值范围；


(2)是否存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．


解：(1)∵原方程有两个实数根，


∴[－(2k＋1)]2－4(k2＋2k)≥0，


∴4k2＋4k＋1－4k2－8k≥0


∴1－4k≥0，


∴k≤eq \f(1,4).


∴当k≤eq \f(1,4)时，原方程有两个实数根．


(2)假设存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立．


∵x1，x2是原方程的两根，


∴x1＋x2＝2k＋1，x1·x2＝k2＋2k.


由x1·x2－x12－x22≥0，


得3x1·x2－(x1＋x2)2≥0.


∴3(k2＋2k)－(2k＋1)2≥0，


整理得：－(k－1)2≥0，


∴只有当k＝1时，上式才能成立．


又∵由(1)知k≤eq \f(1,4)，


∴不存在实数k使得x1·x2－x12－x22≥0成立．


14．如果关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：


(1)已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；


(2)已知a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)的值；


(3)已知a，b，c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．


解：(1)设x2＋mx＋n＝0(n≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－m，x1·x2＝n，


∴eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝－eq \f(m,n)，eq \f(1,x1)·eq \f(1,x2)＝eq \f(1,n)，


∴所求一元二次方程为x2＋eq \f(m,n)x＋eq \f(1,n)＝0，即nx2＋mx＋1＝0.


(2)①当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，∴a＋b＝15，ab＝－5，


∴eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＝eq \f(a2＋b2,ab)＝eq \f(（a＋b）2－2ab,ab)＝eq \f(152－2×（－5）,－5)＝－47.


②当a＝b时，eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＝1＋1＝2.


综上，得eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＝－47或2.


(3)∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝eq \f(16,c)，∴a，b是方程x2＋cx＋eq \f(16,c)＝0的两根，


∴Δ＝c2－eq \f(4×16,c)≥0.∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，


∴c的最小值为4.


类型之五 一元二次方程的创新应用


15．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－ab（a≥b）,ab－b2（a

16．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3eq \r(k)x＋8＝0，则△ABC的周长是__6或12或10__．


类型之六 一元二次方程的创新应用


17．“便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250元．如果每吨售价定为290元时，平均每天可售出16吨．


(1)若代销点采取降价促销的方式，试建立每吨的销售利润y(元)与每吨降价x(元)之间的函数关系式；


(2)若每吨售价每降低5元，则平均每天能多售出4吨．问：每吨水泥的实际售价定为多少元时，每天的销售利润平均可达720元？


解：(1)依题意，得y＝290－x－250＝40－x；


(2)依题意，得(40－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16＋\f(4,5)x))＝720，


解得x1＝x2＝10，290－10＝280(元)．


答：每吨水泥的实际售价定为280元时，每天的销售利润平均可达720元．