初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数2 一次函数与正比例函数教案

这是一份初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数2 一次函数与正比例函数教案，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。




1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点)


2．掌握正比例函数的概念．(重点)











一、情境导入





生活中，我们常常见到各式各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min……


那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？





二、合作探究


探究点一：一次函数与正比例函数


【类型一】 一次函数与正比例函数的识别


下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？


(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6；


(3)y＝2πx; (4)y＝－eq \f(x,2)；


(5)y＝eq \f(1,x)； (6)y＝8x2＋x(1－8x)．


解析：首先看每个函数的表达式能否变形转化为y＝kx＋b(k≠0，k、b是常数)的形式，如果x的次数是1，则是一次函数，否则不是一次函数；在一次函数中，如果常数项b＝0，那么它是正比例函数．


解：(1)是一次函数，不是正比例函数；


(2)不是一次函数，也不是正比例函数；


(3)是一次函数，也是正比例函数；


(4)是一次函数，也是正比例函数；


(5)不是一次函数，也不是正比例函数；


(6)是一次函数，也是正比例函数．


方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零； 判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．





【类型二】 根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值


已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.


(1)若它是一次函数，求m的值；


(2)若它是正比例函数，求m的值．


解析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义x的指数m2－24＝1，且一次项系数m－5≠0；(2)要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m＋1＝0这个条件．


解：(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．


(2)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．


方法总结：函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．





探究点二：一次函数关系式的确定


某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用以生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：


煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除需原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．


(1)写出m与x的关系式；


(2)写出y与x的函数关系式．(不要求写自变量的取值范围)


解析：(1)因为矿石的总量一定，当生产的甲产品的数量x变化时，那么乙产品的产量m将随之变化，m和x是动态变化的两个量；(2)题目中的等量关系为总利润y＝甲产品的利润＋乙产品的利润．


解：(1)因为4m＋10x＝300，所以m＝eq \f(150－5x,2).


(2)生产1吨甲产品获利为4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生产1吨乙产品获利为5500－4×200－8×400－500＝1000(元)．所以y＝600x＋1000m.将m＝eq \f(150－5x,2)代入，得y＝600x＋1000×eq \f(150－5x,2)，即y＝－1900x＋75000.


方法总结：根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解．





三、板书设计


一次函数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(一次函数的概念,正比例函数的概念,函数关系式的确定))





经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心． 产品
资源/吨 )
甲
乙
矿石
10
4
煤
4
8