人教A版 (2019)1.3 集合的基本运算精品教案设计

这是一份人教A版 (2019)1.3 集合的基本运算精品教案设计，共10页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，总结升华，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．


2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．


【要点梳理】


要点一、集合之间的关系


1.集合与集合之间的“包含”关系


集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；


子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作： SKIPIF 1 < 0 ，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： SKIPIF 1 < 0





要点诠释：


（1）“ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集”的含义是： SKIPIF 1 < 0 的任何一个元素都是 SKIPIF 1 < 0 的元素，即由任意的 SKIPIF 1 < 0 ，能推出 SKIPIF 1 < 0 ．


（2）当 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的子集时，我们记作“ SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )”，读作：“ SKIPIF 1 < 0 不包含于 SKIPIF 1 < 0 ”（或“ SKIPIF 1 < 0 不包含 SKIPIF 1 < 0 ”）．


真子集：若集合 SKIPIF 1 < 0 ，存在元素x SKIPIF 1 < 0 B且 SKIPIF 1 < 0 ，则称集合A是集合B的真子集(prper subset).记作：AB(或BA)


规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.


2.集合与集合之间的“相等”关系


SKIPIF 1 < 0 ，则A与B中的元素是一样的，因此A=B


要点诠释：


任何一个集合是它本身的子集，记作 SKIPIF 1 < 0 ．





要点二、集合的运算


1.并集


一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|x SKIPIF 1 < 0 A，或x SKIPIF 1 < 0 B}


Venn图表示：


要点诠释：


（1）“x SKIPIF 1 < 0 A，或x SKIPIF 1 < 0 B”包含三种情况：“ SKIPIF 1 < 0 ”；“ SKIPIF 1 < 0 ”；“ SKIPIF 1 < 0 ”．


（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).


2.交集


一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|x SKIPIF 1 < 0 A，且x SKIPIF 1 < 0 B}；交集的Venn图表示：


要点诠释：


（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是 SKIPIF 1 < 0 ．


（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．


（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.


3.补集


全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.


补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(cmplementary set)，简称为集合A的补集，记作： SKIPIF 1 < 0 补集的Venn图表示：











要点诠释：


（1）理解补集概念时，应注意补集 SKIPIF 1 < 0 是对给定的集合 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相对而言的一个概念，一个确定的集合 SKIPIF 1 < 0 ，对于不同的集合U，补集不同．


（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则 SKIPIF 1 < 0 为全集；而当问题扩展到实数集时，则 SKIPIF 1 < 0 为全集，这时 SKIPIF 1 < 0 就不是全集．


（3） SKIPIF 1 < 0 表示U为全集时 SKIPIF 1 < 0 的补集，如果全集换成其他集合（如 SKIPIF 1 < 0 ）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即 SKIPIF 1 < 0 ）．


4.集合基本运算的一些结论：


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


若A∩B=A，则 SKIPIF 1 < 0 ，反之也成立


若A∪B=B，则 SKIPIF 1 < 0 ，反之也成立


若x SKIPIF 1 < 0 (A∩B)，则x SKIPIF 1 < 0 A且x SKIPIF 1 < 0 B


若x SKIPIF 1 < 0 (A∪B)，则x SKIPIF 1 < 0 A，或x SKIPIF 1 < 0 B


求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.


【典型例题】


类型一：集合间的关系


例1. 请判断①0{0} ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ；⑥ SKIPIF 1 < 0 ；⑦ SKIPIF 1 < 0 ；⑧ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，正确的有哪些？























举一反三：


【变式1】用适当的符号填空：


(1) {x||x|≤1} {x|x2≤1}；


(2){y|y=2x2} {y|y=3x2-1}；


(3){x||x|>1} {x|x>1}；


(4){(x，y)|-2≤x≤2} {(x，y)|-1

例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.











举一反三：


【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则这样的集合 SKIPIF 1 < 0 有 个.


【变式2】同时满足：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的非空集合 SKIPIF 1 < 0 有（ ）


A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个


【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值.











例3. 设M={x|x=a2+1，a SKIPIF 1 < 0 N+}，N={x|x=b2-4b+5，b SKIPIF 1 < 0 N+}，则M与N满足( )


A. M=N B. MN C. NM D. M∩N= SKIPIF 1 < 0


例4．已知 SKIPIF 1 < 0 若M=N，


则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = ．


A．－200 B．200 C．－100 D．0


举一反三：


【变式1】设a，b SKIPIF 1 < 0 R，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则b-a=











类型二：集合的运算


例5. （1）已知集合M={y|y=x2-4x+3，x SKIPIF 1 < 0 R}，N={y|y=-x2+2x+8，x SKIPIF 1 < 0 R}，则M∩N等于( )．


A. SKIPIF 1 < 0 B. R C. {-1，9} D. {y|-1≤y≤9}


（2）设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，x SKIPIF 1 < 0 Z}，M∩N={1}，则M∪N为( )．


A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3}


举一反三：


【变式1】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，


且A∩B={ SKIPIF 1 < 0 }，求A∪B.














【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.














例6. 设全集U={x SKIPIF 1 < 0 N+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.














类型三：集合运算综合应用


例7．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.


（1）若A∩B≠ SKIPIF 1 < 0 ，求实数 a的取值范围；


（2）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；


（3）若A∩B≠ SKIPIF 1 < 0 且A∩B≠A，求实数a的取值范围．





举一反三：


【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）


A．(-∞, -1] B．[1, +∞）


C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）


例8. 设集合 SKIPIF 1 < 0 .


（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；


（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.




















举一反三：


【变式1】已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.









































参考答案


例1. 【答案】②③④⑧


【解析】①错误，因为0是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素，应是 SKIPIF 1 < 0 ；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为 SKIPIF 1 < 0 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的 SKIPIF 1 < 0 为非空集合；⑤⑥⑦错误， SKIPIF 1 < 0 是没有任何元素的集合．


【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.


【变式1】【答案】 (1)= (2) (3) (4)


【总结升华】区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系.


例2. 【解析】不含任何元素子集为 SKIPIF 1 < 0 ，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.


【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集： SKIPIF 1 < 0 和它本身.


【变式1】【答案】7个


【变式2】【答案】C


【解析】 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 非空集合 SKIPIF 1 < 0 可能是： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共7个.故选C.


【变式3】【答案】 a=-1， a= SKIPIF 1 < 0 或a=0【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， ∴a2 SKIPIF 1 < 0 A，


则有：（1）a2=1 SKIPIF 1 < 0 a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；


（2）a2=3 SKIPIF 1 < 0 a= SKIPIF 1 < 0


（3）a2=a SKIPIF 1 < 0 a=0， a=1，舍去a=1，则a=0


综上：a=-1， a= SKIPIF 1 < 0 或a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.


例3. 【答案】B


【解析】当a SKIPIF 1 < 0 N+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b SKIPIF 1 < 0 N+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.


例4．【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D


【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由0 SKIPIF 1 < 0 {0，|x|，y}可知 SKIPIF 1 < 0


若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.


若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0


若 SKIPIF 1 < 0 ，则x=y，M，N可写为M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}


由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|∴|x|=0或|x|=1


若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立，若|x|=1即x=±1


当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1


当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1


SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =-2+2-2+2+…+2=0


【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．


【变式1】【答案】2


【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：


SKIPIF 1 < 0


∴当b=1时，a=-1， SKIPIF 1 < 0


当 SKIPIF 1 < 0 时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)


∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.


例5. 【思路点拨】（1）先把集合M、N进行化简，在利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．


【答案】（1）D （2）D


【解析】（1）集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D.


（2）由N={x|x2-2x<0，x SKIPIF 1 < 0 Z}可得：N={x|0

【变式1】【答案】{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，-4}


【解析】∵A∩B={ SKIPIF 1 < 0 }，∴ SKIPIF 1 < 0 是方程2x2+px+q=0的解，则有：


SKIPIF 1 < 0 (1)，同理有：6( SKIPIF 1 < 0 )2+(2-p)· SKIPIF 1 < 0 +5+q=0(2)


联立方程(1)(2)得到： SKIPIF 1 < 0 ∴方程(1)为2x2+7x-4=0，


∴方程的解为：x1= SKIPIF 1 < 0 ， x2=-4， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，


由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3= SKIPIF 1 < 0 ， x4= SKIPIF 1 < 0 ，


∴B={ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }，则A∪B={ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，-4}.


【变式2】【答案】 ｛2，3，6，18｝


【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3 SKIPIF 1 < 0 ｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1


当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}


∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝


当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}


这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.


综上A∪B=｛2，3，6，18｝．


例6. 【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}


【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}


由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.


由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.


例7．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.


【答案】（1）a<4 （2）a≥-2 （3）-2≤a<4


【解析】(1)∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠ SKIPIF 1 < 0 ，如图，a<4；


(2)画数轴同理可得：a≥-2；


(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4.


【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.


【变式1】 【答案】C


【解析】 SKIPIF 1 < 0 ｛ SKIPIF 1 < 0 ︱ SKIPIF 1 < 0 ｝又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，


∴ SKIPIF 1 < 0 故选C．


例8. 【思路点拨】明确 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，是解决本题的关键.同时，在包含关系式 SKIPIF 1 < 0 中，不要漏掉 SKIPIF 1 < 0 的情况.


【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．


【解析】 首先化简集合 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .


（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，可知集合 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，或为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，或为 SKIPIF 1 < 0 .


①若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .


②若 SKIPIF 1 < 0 ,代入得 SKIPIF 1 < 0 .


当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 符合题意；


当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也符合题意.


③若 SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .


当 SKIPIF 1 < 0 时，已讨论，符合题意；


当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.


由①②③，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .


（2） SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 至多只有两个根，因此应有 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 .


【总结升华】两个等价转化： SKIPIF 1 < 0 非常重要，注意应用.另外，在解决有条件 SKIPIF 1 < 0 的集合问题时，不要忽视 SKIPIF 1 < 0 的情况.


【变式1】【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0


【解析】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .


①当 SKIPIF 1 < 0 时，此时方程 SKIPIF 1 < 0 无解，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .


②当 SKIPIF 1 < 0 时，此时方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个实数解-2，


SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .


综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .