数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）获奖教案

这是一份数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）获奖教案，共11页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1.通过实例理解有关一次函数和二次函数的有关问题，会解数学模型为一次函数和二次函数的有关应用问题.


2.学会独立思考，提高分析问题、解决问题的能力.


【要点梳理】


要点一：一次函数模型的应用


1.一次函数的一般形式： SKIPIF 1 < 0 ，其定义域是R，值域是R.


要点二：二次函数模型的应用


1.二次函数的一般形式是 SKIPIF 1 < 0 其定义域为R.


2.若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时有最小值 SKIPIF 1 < 0 ；


若 SKIPIF 1 < 0 ，则二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时有最大值 SKIPIF 1 < 0 .


3.建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答.


要点三：数学建模


1．数学建模的过程





2.数学建模的步骤：


第一步：阅读理解，认真审题


读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息.


第二步：引进数学符号，建立数学模型


设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.


第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果.


第四步：再转译为具体问题作出解答.





3．函数模型的综合应用


函数的应用题是利用函数模型解决实际问题。


在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：


第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的。


第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素。


第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述。


第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果。


第五阶段，解释数学模型的结果。


【典型例题】


类型一：一次函数模型的应用


例1.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠办法：


(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；


(2)按购买总价的92%付款．


某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若以购买茶杯数为 SKIPIF 1 < 0 (个)，付款数为 SKIPIF 1 < 0 (元)，试分别建立两种优惠办法中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法?
































例2.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份O.35元，卖出的价格是每份O.50元，卖不掉的报纸还可以每份O.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?





























举一反三：


【变式1】某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．


(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请设计出来；


(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少?












































例3.已知等腰梯形ABCD的两底分别为AB=3，CD=1，腰长为2．一动点P从B开始沿梯形的边BC、CD、DA运动，若P经过路程为x，△ABP面积为y，求y与x之间的函数关系式．
























































类型二：二次函数模型的应用


例4.某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高?























举一反三：


【变式1】将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少1O个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?
































【变式2】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．





例5.某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为O.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)O.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为 SKIPIF 1 < 0 (万元)(0≤ SKIPIF 1 < 0 ≤5)，其中 SKIPIF 1 < 0 是产品售出的数量(单位：百台)．


(1)把利润表示为年产量的函数；


(2)年产量是多少时，工厂所得到利润最大?


(3)年产量是多少时，工厂才不亏本?


























类型三、综合应用


例6．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．


（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；


（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）























举一反三：


【变式1】请你设计一个包装盒，如图所示， SKIPIF 1 < 0 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 SKIPIF 1 < 0 四个点重合于图中的点 SKIPIF 1 < 0 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 SKIPIF 1 < 0 cm.


若广告商要求包装盒侧面积 SKIPIF 1 < 0 （cm）最大，试问 SKIPIF 1 < 0 应取何值？






































参考答案


【典型例题】


类型一：一次函数模型的应用


例1.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠办法：


(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；


(2)按购买总价的92%付款．


某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若以购买茶杯数为 SKIPIF 1 < 0 (个)，付款数为 SKIPIF 1 < 0 (元)，试分别建立两种优惠办法中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法?


【思路点拨】付款分为两部分，茶壶款和茶杯款，需要分别计算．


【解析】由优惠办法(1)可得函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ；


由优惠办法(2)得函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 ．


当该顾客需购买茶杯40个时，采用优惠办法(1)应付款 SKIPIF 1 < 0 (元)；采用优惠办法(2)应付款 SKIPIF 1 < 0 (元)，由于 SKIPIF 1 < 0 ，因此应选择优惠办法(2)．


【总结升华】注意问题的分配的要抓住本质，本题的实质是一个一次函数问题.


例2.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份O.35元，卖出的价格是每份O.50元，卖不掉的报纸还可以每份O.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?


【思路点拨】每月所赚的钱＝卖报收入的总价-付给报社的总价．而收入的总数分别为3部分：①在可卖出400份的20天里．收入为 SKIPIF 1 < 0 ；②在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出．收入为O.5×250×10；③没有卖掉的(x-250)份报纸可退回报社，报社付给(x-250)×O.08×10的钱，注意写出函数式的定义域．


【解析】设每天应从报社买x份，易知250≤x≤400．设每月赚y元，得


y=O.5·x·20+O.5×250×10+(x-250)×0.08×10-O.35·x·30．


=O.3x+1050，x∈[250，400]．


因为y=O.3x+1050是定义域上的增函数，


所以当x=400时，


SKIPIF 1 < 0 (元)．


可知每天应从报社买400份报纸．获得利润最大，每月可赚1170元．


举一反三：


【变式1】某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．


(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请设计出来；


(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少?


【思路点拨】设生产A种(或B种)产品x件，则生产B种(或A种)产品(50-x)件．根据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg，所用乙种原料不超过290 kg．可列出两个不等式，解不等式组，即可求出x的范圃，进而确定x的正整数值．


【解析】(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为 SKIPIF 1 < 0 件，依题意，得 SKIPIF 1 < 0 解得30≤x≤32．


∵ x是整数，


∴ 只能取30，31，32．


∴ 生产方案有三种，分别为A种30件，B种20件；A种31件，B种19件，A种32件；B种18件．


(2)设生产A种产品为x件，则


y=700x+1200(50-x)=-500x+60000．


∵ SKIPIF 1 < 0 ，根据一次函数的增减性，


∴ y随x的增大而减小．


当x=30时，y最大， SKIPIF 1 < 0 ．


∴ 安排生产A种产品30件，B种产品20件时，获得利润最大，最大利润是45000元


【总结升华】此题的第(1)问是利用一元二次不等式组解决的，第(2)问是利用一次函数的增减性解决问题的，要注意第(2)问与第(1)问的相互联系.


例3.已知等腰梯形ABCD的两底分别为AB=3，CD=1，腰长为2．一动点P从B开始沿梯形的边BC、CD、DA运动，若P经过路程为x，△ABP面积为y，求y与x之间的函数关系式．


【思路点拨】如图所示，需分P在BC、CD、DA三段分别计算．


【解析】过P作PE⊥AB于E．


(1)当P在BC上时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，


∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .


(2)当P在CD上时， SKIPIF 1 < 0 ，


∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .


(3)当P在DA上时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .


∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0


综上所述： SKIPIF 1 < 0


由于ABP为三角形，故P在A、B两端点时不必研究，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以定义域为(0，5).


【总结升华】对于文字叙述冗长，反映数学关系的事物陌生的应用题，认真、耐心地阅读和理解题意至关重要.有的同学一见应用题文字冗长、应用问题中给出的事物比较陌生，连题目都没有看完，就望而生畏，置之不理.实际上这类问题是对学生心理素质的严峻考验，要树立信心，保持冷静，认真对待，不可随意放弃，等你认真阅读完了，理解清楚题意后这道题可能就迎刃而解了！


类型二：二次函数模型的应用


例4.某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高?


【思路点拨】由题设可知，每天客房总的租金y元是房租金的函数．


【解析】设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金总收入为y=(20+2x)(300-10x)，x∈N．


这个二次函数图象的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0


当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．


答：将房间租金提高到40元/间时，客房租金总收入最高，每天为8000元．


【总结升华】


求二次函数最值时一般用配方法，这里使用了对称性，简化了计算.


举一反三：


【变式1】将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少1O个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?


【思路点拨】设销售单价应涨 SKIPIF 1 < 0 元．则实际销售单价为(10+ SKIPIF 1 < 0 )元；日销售量为(100-10 SKIPIF 1 < 0 )个；日销售额为(10+x)(100-10x)元；日销售成本为8(100-10x)元，故利润为y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(x∈N)易得，当 SKIPIF 1 < 0 =4时，y最大．此时，销售单价为14元．


【解析】设销售单价应涨 SKIPIF 1 < 0 元，则实际销售价格为 SKIPIF 1 < 0 元，由题意得利润为


y=(10+ SKIPIF 1 < 0 )(100-10 SKIPIF 1 < 0 )-8(100-1O SKIPIF 1 < 0 )=-10( SKIPIF 1 < 0 -4)2+360(x∈N)．


∴ 当 SKIPIF 1 < 0 =4时， SKIPIF 1 < 0 ．


此时销售价为10+4=14(元)．


【总结升华】根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题.求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等.


【变式2】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．


【答案】2000米


【解析】设树苗可以放置的一个最佳坑位的编号为 SKIPIF 1 < 0 ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：


SKIPIF 1 < 0


若 SKIPIF 1 < 0 取最小值，则函数 SKIPIF 1 < 0 取最小值，由二次函数的性质，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0


又∵ SKIPIF 1 < 0 为正整数，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，最小值是1000米，所以往返路程的最小值是2000米.





【总结升华】本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据绝对值的定义，我们将求一个绝对值函数的最值问题，转化为求一个二次函数的最值问题是解答本题的关键．


例5.某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为O.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)O.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为 SKIPIF 1 < 0 (万元)(0≤ SKIPIF 1 < 0 ≤5)，其中 SKIPIF 1 < 0 是产品售出的数量(单位：百台)．


(1)把利润表示为年产量的函数；


(2)年产量是多少时，工厂所得到利润最大?


(3)年产量是多少时，工厂才不亏本?


【思路点拨】对于一些较复杂的应用问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题.要先后或同时构造、利用几个数学模型方可．


【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 ≤5时，产品能售出 SKIPIF 1 < 0 台；当 SKIPIF 1 < 0 >5时，只能售出5百台．故利润函数为 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


(2)当0≤ SKIPIF 1 < 0 ≤5时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 万元.


当x>5时，L(x)=-0.25x+12<10.75


∴ 生产475台的利润最大.


(3)由 SKIPIF 1 < 0


或 SKIPIF 1 < 0 得4.75- SKIPIF 1 < 0 ≤x≤5或5

∴4.75- SKIPIF 1 < 0 ≤x＜48，4.75- SKIPIF 1 < 0 ≈0.1，


故产品年产量在10台到4800台时，工厂不赔本，考虑到实际情况，当年产量在10台到500台时工厂不亏本.


类型三、综合应用


【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例4】


例6．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 SKIPIF 1 < 0 （单位：千米/小时）是车流密度 SKIPIF 1 < 0 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 SKIPIF 1 < 0 时，车流速度 SKIPIF 1 < 0 是车流密度 SKIPIF 1 < 0 的一次函数．


（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式；


（Ⅱ）当车流密度 SKIPIF 1 < 0 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） SKIPIF 1 < 0 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）


【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度 SKIPIF 1 < 0 与车流速度 SKIPIF 1 < 0 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。


【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 （Ⅱ）100 3333


【解析】


（Ⅰ）由题意：当 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0


再由已知得 SKIPIF 1 < 0


故函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式为 SKIPIF 1 < 0


（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0


当 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；


当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0


所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[20，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0


综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间[0，200]上取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．


即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．


举一反三：


【变式1】请你设计一个包装盒，如图所示， SKIPIF 1 < 0 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 SKIPIF 1 < 0 四个点重合于图中的点 SKIPIF 1 < 0 ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 SKIPIF 1 < 0 cm.


若广告商要求包装盒侧面积 SKIPIF 1 < 0 （cm）最大，试问 SKIPIF 1 < 0 应取何值？





























【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,


所以 SKIPIF 1 < 0 cm时包装盒侧面积S最大.