人教A版 (2019)必修第一册4.3 对数获奖教学设计

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册4.3 对数获奖教学设计，共10页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】

1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；

2.了解常用对数与自然对数的意义；

3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；

4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．

5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．

【要点梳理】

要点一、对数概念

1.对数的概念

如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:lgaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

要点诠释：

对数式lgaN=b中各字母的取值范围是：a>0且a1， N>0， bR.

2.对数 SKIPIF 1 < 0 具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即 SKIPIF 1 < 0 ；

(2)1的对数为0，即 SKIPIF 1 < 0 ；

(3)底的对数等于1，即 SKIPIF 1 < 0 .

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数， SKIPIF 1 < 0 .以e（e是一个无理数， SKIPIF 1 < 0 ）为底的对数叫做自然对数， SKIPIF 1 < 0 .

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.

SKIPIF 1 < 0

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.

要点二、对数的运算法则

已知 SKIPIF 1 < 0

(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

SKIPIF 1 < 0

推广： SKIPIF 1 < 0

(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；

SKIPIF 1 < 0

(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

SKIPIF 1 < 0

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：lg2(-3)(-5)=lg2(-3)+lg2(-5)是不成立的，因为虽然lg2(-3)(-5)是存在的，但lg2(-3)与lg2(-5)是不存在的.

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

lga(MN)=lgaMlgaN，

lga(M·N)=lgaM·lgaN，

lga SKIPIF 1 < 0 .

要点三、对数公式

1．对数恒等式：

SKIPIF 1 < 0

2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:

(1) SKIPIF 1 < 0

令 lgaM=b，则有ab=M， (ab)n=Mn，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即: SKIPIF 1 < 0 .

(2) SKIPIF 1 < 0 ，令lgaM=b，则有ab=M，则有 SKIPIF 1 < 0

即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:

SKIPIF 1 < 0 .

【典型例题】

类型一、指数式与对数式互化及其应用

例1.将下列指数式与对数式互化：

(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；

(4) SKIPIF 1 < 0 ；(5) SKIPIF 1 < 0 ；(6) SKIPIF 1 < 0 .

举一反三：

【变式1】求下列各式中x的值：

(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3)lg1000=x (4) SKIPIF 1 < 0

【变式2】计算： SKIPIF 1 < 0 并比较．

类型二、利用对数恒等式化简求值

例2．求值： SKIPIF 1 < 0

举一反三：

【变式1】求 SKIPIF 1 < 0 的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

类型三、积、商、幂的对数

例3. SKIPIF 1 < 0 表示下列各式

SKIPIF 1 < 0

举一反三：

【变式1】求值

(1) SKIPIF 1 < 0

(2)lg2·lg50+(lg5)2

(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

【变式2】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．

（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．

类型四、换底公式的运用

例4.已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．

举一反三：

【变式1】

求值：(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .

类型五、对数运算法则的应用

例5.求值

(1) SKIPIF 1 < 0

(2) SKIPIF 1 < 0

(3) SKIPIF 1 < 0

(4) SKIPIF 1 < 0

举一反三：

【变式1】求值： SKIPIF 1 < 0

例6.若方程 SKIPIF 1 < 0 的两根是a，b，求ab的值．

举一反三：

【变式1】

若 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个实根，求 SKIPIF 1 < 0 的值．

参考答案

【典型例题】

类型一、指数式与对数式互化及其应用

例1.将下列指数式与对数式互化：

(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 ；(5) SKIPIF 1 < 0 ；(6) SKIPIF 1 < 0 .

【解析】运用对数的定义进行互化.

(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 ；(5) SKIPIF 1 < 0 ；(6) SKIPIF 1 < 0 .

【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

举一反三：

【变式1】求下列各式中x的值：

(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3)lg1000=x (4) SKIPIF 1 < 0

【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）3；（4）-4．

【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

(1) SKIPIF 1 < 0 ；

(2) SKIPIF 1 < 0 ；

(3)10x=1000=103，于是x=3；

(4)由 SKIPIF 1 < 0 .

高清课程：对数及对数运算例1

【变式2】计算： SKIPIF 1 < 0 并比较．

【答案】2 3 5

【解析】 SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0 ．

类型二、利用对数恒等式化简求值

例2．求值： SKIPIF 1 < 0

【答案】35

【解析】 SKIPIF 1 < 0 .

【总结升华】对数恒等式 SKIPIF 1 < 0 中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.

举一反三：

【变式1】求 SKIPIF 1 < 0 的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

【答案】 SKIPIF 1 < 0

【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.

SKIPIF 1 < 0 .

类型三、积、商、幂的对数

高清课程：对数及对数运算例3

例3. SKIPIF 1 < 0 表示下列各式

SKIPIF 1 < 0

【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ；

（2） SKIPIF 1 < 0 ；

（3） SKIPIF 1 < 0 ；

（4） SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．

【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．

举一反三：

【变式1】求值

(1) SKIPIF 1 < 0 (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

【答案】（1）22；（2）1；（3）2．

【解析】(1) SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1

(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式2】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．

（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．

【答案】（1）1；（2） SKIPIF 1 < 0

【解析】（1）由已知分别求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0 ，

由换底公式得：

SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0

= SKIPIF 1 < 0

= SKIPIF 1 < 0

（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0

故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，

故 SKIPIF 1 < 0 ．

类型四、换底公式的运用

例4.已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．

【答案】 SKIPIF 1 < 0

【解析】

解法一： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

于是 SKIPIF 1 < 0 ．

解法二： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

于是 SKIPIF 1 < 0

解法三： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 ．

解法四： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0

又 SKIPIF 1 < 0 ．

令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，

即 SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0 ．

【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．

（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．

（3）解决这类问题要注意隐含条件“ SKIPIF 1 < 0 ”的灵活运用．

举一反三：

【变式1】求值：(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .

【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．

【解析】(1) SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0 ；

(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；

(3)法一： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0

法二： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .

类型五、对数运算法则的应用

例5.求值

(1) SKIPIF 1 < 0

(2) SKIPIF 1 < 0

(3) SKIPIF 1 < 0

(4) SKIPIF 1 < 0

【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13

【解析】(1)原式= SKIPIF 1 < 0

(2) 原式= SKIPIF 1 < 0

= SKIPIF 1 < 0

(3)原式= SKIPIF 1 < 0

(4)原式 SKIPIF 1 < 0

举一反三：

【变式1】求值： SKIPIF 1 < 0

【答案】2

【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0

另解：设 SKIPIF 1 < 0 =m (m>0).∴ SKIPIF 1 < 0 ，

∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，

∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即 SKIPIF 1 < 0 .

例6.若方程 SKIPIF 1 < 0 的两根是a，b，求ab的值．

【答案】 SKIPIF 1 < 0

【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0 是原方程的两个根，

SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0

【总结升华】解决本题的关键是要分清楚a，b是哪个方程的根，所以首先利用换元法把方程化成一元二次方程，这样就可以得到原方程的两根是 SKIPIF 1 < 0 ．

举一反三：

【变式1】若 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个实根，求 SKIPIF 1 < 0 的值．

【答案】12

【解析】原方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则原方程化为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．

由已知 SKIPIF 1 < 0 是原方程的两个根，

则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0

= SKIPIF 1 < 0

= SKIPIF 1 < 0

= SKIPIF 1 < 0 ．

即 SKIPIF 1 < 0 ．

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