2020版高考数学一轮复习课后限时集训15《导数与函数的极值最值》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(十五)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是(    )

A．函数y＝f(x)在区间(－1,3)上单调递增

B．函数y＝f(x)在区间(3,5)上单调递减

C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值

D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值

C　[由函数y＝f(x)导函数的图象可知：

当x＜－1及3＜x＜5时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当－1＜x＜3及x＞5时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

所以f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3,5)；单调增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，

f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，

故选项C错误，故选C.]

2．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为(    )

A．e   B．1

C．－1   D．－e

C　[函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)．

又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，

当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；

当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．

当x＝1时，函数取得最大值－1.]　

3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(    )

A．11或18           B．11

C．18   D．17或18

C　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

∴⇒

⇒或.

经检验符合题意，∴f(2)＝23＋4×4＋2×(－11)＋16＝18.]

4．已知a∈R，若f(x)＝ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a的取值范围是(    )

A．a＜0           B．a＞0

C．a≤1   D．a≥0

B　[f′(x)＝(ax2＋x－1)，

若f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，

则f′(x)＝0在(0,1)上有且只有一个零点，

显然＞0，问题转化为g(x)＝ax2＋x－1在(0,1)上有且只有一个零点，

故g(0)·g(1)＜0，即解得：a＞0，故选B.]

5．(2019·漳州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为(    )

A．1          B．2   C．e      D.

D　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，∴f(x)max＝f＝ln－1＝0，解得a＝，故选D.]

二、填空题

6．函数y＝2x－的极大值是________．

－3　[y′＝2＋，令y′＝0，即2＋＝0，

解得x＝－1，当x＜－1时，y′＞0，

当－1＜x＜0时，y′＜0，因此当x＝－1时，函数有极大值，极大值为－2－1＝－3.]

7．(2018·贵州质检)设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时，t的值为________．

　[由题意，M(t，t2)，N(t，ln t)，

∴|MN|＝|t2－ln t|，

令f(t)＝t2－ln t(t＞0)，

∴f′(t)＝2t－＝；

当f′(t)＞0时，t＞，

当f′(t)＜0时，0＜t＜，

∴f(x)在上为减函数，

f(x)在上为增函数，

∴f(x)min＝f＝－ln ＞0，

∴当t＝时，|MN|达到最小值，最小值为－ln .]

8．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

(0,1)∪(2,3)　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x＋4－＝，令f′(x)＝0得x＝1或x＝3，经检验知x＝1或x＝3是函数f(x)的两个极值点，由题意知，t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，解得0＜t＜1或2＜t＜3.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

[解]　(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4

＝4(x＋2)

令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，

在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

10．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.

(1)求a，b的值；

(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．

[解]　(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，

故f′(x)＝3ax2＋b.

由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，

故有即

化简得解得

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，

f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，

故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；

当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，

故f(x)在(－2,2)上为减函数；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，

故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．

由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，

f(－2)＝16＋c，

f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.

由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.

此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，

f(2)＝－16＋c＝－4，

因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.

B组　能力提升

1．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(    )

A．2b－   B.b－

C．0   D．b2－b3

A　[f′(x)＝x2－(b＋2)x＋2b＝(x－2)(x－b)，

令f′(x)＝0得x＝2或x＝b，由题意知－3＜b＜1.

当b＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，因此x＝2时，f(x)有极小值，且f(2)＝－4＋4b＝2b－，故选A.]

2．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是(    )

A．[1，＋∞)   B.

C．[1,2)   D.

B　[f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.

由f′(x)＝0得x＝，由题意知解得1≤k＜.故选B.]

3．已知函数f(x)＝x3－x2－x＋m在[0,1]上的最小值为，则实数m的值为________．

2　[f′(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x∈[0,1]时，f′(x)＜0，因此f(x)在区间[0,1]上是减函数，则f(x)min＝f(1)＝m－＝，解得m＝2.]

4．(2018·北京高考)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；

(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．

[解]　(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，

所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.

f′(2)＝(2a－1)e2.

由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.

(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.

若a＞1，则当x∈时，f′(x)＜0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.

所以f(x)在x＝1处取得极小值．

若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1＜0，

所以f′(x)＞0.

所以1不是f(x)的极小值点．

综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．