2020版高考数学一轮复习课后限时集训45《双曲线》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(四十五)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1. (2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(    )A．(－，0)，(，0)  B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－)，(0，)   D．(0，－2)，(0,2)B　[∵双曲线方程为－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c＝＝＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选B.]2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(    )A．2         B.   C.      D.C　[由渐近线互相垂直可知·＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝a，所以e＝.]3．(2018·青岛二模)直线l：x－2y－5＝0过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为(    )A.－＝1   B.－＝1C.－y2＝1   D．x2－＝1A　[根据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为－＝1.]4．(2019·湖南师大附中模拟)已知A是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若存在实数λ使得＝λ，则双曲线的离心率为(    )A．3           B．2C．4   D．与λ的取值有关A　[由题意，可知|PG|＝2|GO|，GA∥PF1，∴2|OA|＝|AF1|，∴2a＝c－a，∴c＝3a，∴e＝3.]5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(    )A.        　B.   C.   　D.D　[由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.]二、填空题6．已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.　[因为(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，所以1＋b2＝4，则b＝.]7．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为________．2　[双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝＝b.∴b＝c，∴a＝＝c，∴e＝＝2.]8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率大于，则m的取值范围为________．(0,1)∪(4，＋∞)  [由双曲线方程可得m>0，所以e＝>，解得m>4或m<1.由m>0，故可得m的取值范围为(0,1)∪(4，＋∞)．]三、解答题9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9.双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．[解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为－＝1.10．(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.[解]　(1)∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即－＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－.∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.法二：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.B组　能力提升1．(2019·湖南四校联考)已知A，B，P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝3，则该双曲线的离心率为(    )A.            B.      C．2       D．3C　[由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则－＝1，－＝1，又kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝＝＝3，所以离心率e＝＝2，故选C.]2．(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(    )A.－＝1   B.－＝1C.－＝1   D.－＝1C　[如图，不妨设A在B的上方，则A(c，)，B(c，－)．其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝.∴双曲线的方程为－＝1. 故选C.]3．(2018·北京高考)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.4　[由e＝＝知＝2＝，∴a2＝16.∵a>0，∴a＝4.]4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积．[解]　(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m＞0，n＞0，由＝得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ，因为tan＝2，则tan θ＝，从而sin 2θ＝.又|OA|＝m，|OB|＝n，所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.