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    2020版高考数学一轮复习课后限时集训45《双曲线》(理数)(含解析) 试卷

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    2020版高考数学一轮复习课后限时集训45《双曲线》(理数)(含解析) 试卷

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    课后限时集训(四十五)(建议用时:60分钟)A组 基础达标一、选择题1. (2018·浙江高考)双曲线y2=1的焦点坐标是(    )A.(-,0),(,0)  B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)   D.(0,-2),(0,2)B [∵双曲线方程为y2=1,∴a2=3,b2=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴c=2,即得该双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).故选B.]2.双曲线=1的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为(    )A.2         B.   C.      D.C [由渐近线互相垂直可知·=-1,即a2b2,即c2=2a2,即ca,所以e.]3.(2018·青岛二模)直线lx-2y-5=0过双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则该双曲线的方程为(    )A.=1   B.=1C.y2=1   D.x2=1A [根据题意,令y=0,则x=5,即c=5.又,所以a2=20,b2=5,所以双曲线的方程为=1.]4.(2019·湖南师大附中模拟)已知A是双曲线=1(a>0,b>0)的左顶点,F1F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,G是△PF1F2的重心,若存在实数λ使得λ,则双曲线的离心率为(    )A.3           B.2C.4   D.与λ的取值有关A [由题意,可知|PG|=2|GO|,GAPF1,∴2|OA|=|AF1|,∴2aca,∴c=3a,∴e=3.]5.已知F是双曲线Cx2=1的右焦点,PC上一点,且PFx轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(    )A.         B.   C.    D.D [由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以APx轴,又PFx轴,所以APPF,所以SAPF|PF|·|AP|=×3×1=.]二、填空题6已知(2,0)是双曲线x2=1(b>0)的一个焦点,则b=________. [因为(2,0)是双曲线x2=1(b>0)的一个焦点,所以1+b2=4,则b.]7.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为________.2 [双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,焦点F(c,0)到渐近线的距离d=b.∴bc,∴ac,∴e=2.]8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1的离心率大于,则m的取值范围为________.(0,1)∪(4,+∞)  [由双曲线方程可得m>0,所以e>,解得m>4或m<1.由m>0,故可得m的取值范围为(0,1)∪(4,+∞).]三、解答题9已知椭圆D=1与圆Mx2+(y-5)2=9.双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.[解] 椭圆D的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.设双曲线G的方程为=1(a>0,b>0),∴渐近线方程为bx±ay=0且a2b2=25,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.=3,得a=3,b=4,∴双曲线G的方程为=1.10.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.[解] (1)∵e∴可设双曲线的方程为x2y2λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线的方程为x2y2=6,即=1.(2)证明:法一:由(1)可知,abc=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),kMF1kMF2kMF1·kMF2=-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,kMF1·kMF2=-1,∴MF1MF2.·=0.法二:由(1)可知,ab,∴c=2F1(-2,0),F2(2,0),=(-2-3,-m),=(2-3,-m),·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,·=0.B组 能力提升1.(2019·湖南四校联考)已知ABP是双曲线=1(a>0,b>0)上不同的三点,且AB连线经过坐标原点,若直线PAPB的斜率乘积kPA·kPB=3,则该双曲线的离心率为(    )A.            B.      C.2       D.3C [由双曲线的对称性知,点AB关于原点对称,设A(x1y1),B(-x1,-y1),P(x2y2),则=1,=1,又kPAkPB,所以kPA·kPB=3,所以离心率e=2,故选C.]2.(2018·天津高考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于AB两点.设AB到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1d2,且d1d2=6,则双曲线的方程为(    )A.=1   B.=1C.=1   D.=1C [如图,不妨设AB的上方,则A(c),B(c,-).其中的一条渐近线为bxay=0,则d1d2=2b=6,∴b=3. 又由e=2,知a2b2=4a2,∴a.∴双曲线的方程为=1. 故选C.]3.(2018·北京高考)若双曲线=1(a>0)的离心率为,则a=________.4 [由e2,∴a2=16.a>0,∴a=4.]4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2xy=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程;(2)设P为双曲线上一点,AB两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若,求△AOB的面积.[解] (1)依题意得解得故双曲线的方程为x2=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x2=1,整理得mn=1.设∠AOB=2θ,因为tan=2,则tan θ,从而sin 2θ.又|OA|=m,|OB|=n所以SAOB|OA||OB|sin 2θ=2mn=2.   

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