2020版高考数学一轮复习课后限时集训43《直线与圆圆与圆的位置关系》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(四十三)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．(2019·广州模拟)若一个圆的圆心为(0,1)，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是(    )A．x2＋(y－1)2＝2   B．(x－1)2＋y2＝2C．x2＋(y－1)2＝4   D．(x－1)2＋y2＝4A　[由于圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，故r＝＝，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.故选A.]2．(2019·昆明摸底调研)直线l：x－y＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝6相交于A，B两点，则|AB|＝(    )A．2          B．4   C.      D.B　[由题意知，圆C的圆心为C(2,0)，半径为，圆心C到直线l的距离为，所以|AB|＝2＝4，故选B.]3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(    )A．{1，－1}           B．{3，－3}C．{1，－1,3，－3}   D．{5，－5,3，－3}C　[因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1；外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}．]4．已知直线l：kx－y－3＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，且·＝2，则k＝(    )A．2           B．±C．±2   D.B　[圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，设与的夹角为θ，则2×2×cos θ＝2，解得cos θ＝，θ＝，∴圆心到直线l的距离为2cos＝，可得＝，解得k＝±.]5．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为(    )A．2         B．3   C．4      D．5A　[将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB的中点坐标为D(2，)，∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.故选A.]二、填空题6．(2019·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．－1　[由题意知，圆C的半径是4，△ABC为直角三角形，则圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为2，所以＝2，解得a＝－1.]7．(2019·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．3－5　[把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝＝3＞5.故圆C1与圆C2相离，所以|PQ|的最小值是3－5.]8．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点且两圆在点A处切线互相垂直，则线段AB的长度是________．4　[由题意⊙O1与⊙O在A处切线互相垂直，则两切线分别过另一圆圆心，∴O1A⊥OA.又|OA|＝，|O1A|＝2，∴|O1O|＝5.又A，B关于O1O所在直线对称，∴AB是Rt△OAO1斜边上高的2倍．∴|AB|＝2×＝4.]三、解答题9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．[解]　(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，则＝.化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x.综上所述，直线l的方程为x＝0或y＝－x.10．(2018·河北邢台月考)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．[解]　(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2，设P(a,2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，∴点P的坐标为(2,4)或.(2)设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.由得或∴该圆必经过定点(0,4)和.B组　能力提升1．已知两点A(－m,0)和B(2＋m,0)(m＞0)，若在直线l：x＋y－9＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的取值范围是(    )A．(0,3)   B．(0,4)C．[3，＋∞)   D．[4，＋∞)C　[因为A(－m,0)，B(2＋m,0)(m＞0)，所以以AB为直径的圆的圆心为(1,0)，半径为1＋m，即方程为(x－1)2＋y2＝(1＋m)2.若直线l：x＋y－9＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则直线l与圆有公共点．∴≤1＋m，解得m≥3.]2．(2019·达州联考)若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是(    )A．(4,6)           B．(4,6]C．[4,6)   D．[4,6]A　[由圆的标准方程得圆心坐标(3，－5)，则圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离d＝＝＝5.若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则满足d－1＜r＜d＋1，即4＜r＜6，故选A.]3．若直线xsin θ＋ycos θ＝1与圆x2＋y2－2x－2ycos θ＋cos2θ＋＝0相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是________．－　[圆x2＋y2－2x－2ycos θ＋cos2θ＋＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－cos θ)2＝，圆心为(1，cos θ)，半径为，由题意得，圆心到直线的距离d＝＝，所以|sin θ－sin2θ|＝.因为θ为锐角，所以0＜sin2θ＜sin θ＜1，sin2θ－sin θ＋＝0，解得sin θ＝，故cos θ＝，所以直线xsin θ＋ycos θ＝1的斜率k＝－＝－＝－.]4．(2018·江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1,2)．(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|＝|AB|，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．[解]　(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为＝1.设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝＝.因为|MN|＝|AB|＝＝2，而|CM|2＝d2＋2，所以4＝＋2，解得m＝0或m＝－4，故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，化简得x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.因为|2－2|＜＜2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以存在点P，使|PA|2＋|PB|2＝12，点P的个数为2.