2020版高考数学一轮复习课后限时集训44《椭圆》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(四十四)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．(2019·浦东新区模拟)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(    )

A．k＞4        B．k＝4   　C．k＜4   　D．0＜k＜4

D　[椭圆的标准方程为＋＝1，焦点在x轴上，所以0＜k＜4.]

2．(2019·大同月考)已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝(    )

A．6          B.   C．4   D．2

C　[由焦点在x轴上的椭圆＋＝1，可得a＝，c＝.

由椭圆的离心率为，可得＝，解得m＝4.故选C.]

3．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(    )

A.＋y2＝1

B.＋＝1

C.＋y2＝1或＋＝1

D. 以上答案都不对

C　[直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.]

4．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为(    )

A．3          B．6   C．9   D．12

B　[因为点P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝5，所以2a＝6，即a＝3，c＝6，则b＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.]

5．(2019·唐山模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是(    )

A.   B.

C.   D.

A　[因为椭圆＋＝1上存在点P使∠F1PF2为钝角，所以b＜c，则a2＝b2＋c2＜2c2，所以椭圆的离心率e＝＞.又因为e＜1，所以e的取值范围为，故选A.]

二、填空题

6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．

＋＝1　[∵c＝2，a2＝4b2，

∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，b2＝4，a2＝16.

又焦点在y轴上，∴标准方程为＋＝1.]

7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．

120°　[由题意知a＝3，c＝.因为|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝6－4＝2.所以cos∠F1PF2＝＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.]

8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为________．

　[∵圆O与直线BF相切，∴圆O的半径为，即OC＝，∵四边形FAMN是平行四边形，∴点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，∴5e2＋2e－3＝0，又0＜e＜1，∴e＝.]

三、解答题

9．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；

(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．

[解]　(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，

由已知条件得

解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.

故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

10．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

[解]　(1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，

解得＝，＝－2(舍去)．

故C的离心率为.

(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，

所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，

故＝4，即b2＝4a.   ①

由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则

即

代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得＋＝1.

解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.

B组　能力提升

1．(2019·六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(    )

A．4           B．6      C．8      D．12

A　[由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.]

2．(2018·中山一模)设椭圆：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为(    )

A.           B.   C.   D.

B　[如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B.]

3．(2019·临沂模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点A是椭圆C的右顶点，椭圆C的离心率为，过点F1的直线l上存在点P，使得PA⊥x轴，且△F1F2P是等腰三角形，则直线l的斜率k(k＞0)为________．

　[法一：由题意知直线l的方程为y＝k(x＋c)(k＞0)，则P(a，k(a＋c))．∵椭圆C的离心率e＝＝，∴a＝2c，P(2c,3kc)，F2(c,0)．由题意知|F1F2|＝|F2P|，得

(2c－c)2＋(3kc)2＝4c2，得k2＝.∵k＞0，∴k＝.

法二：根据题意不妨设椭圆C：＋＝1，P(2，t)(t＞0)，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意知|F1F2|＝|F2P|，得(2－1)2＋t2＝4，得t2＝3，∵t＞0，∴t＝，∴P(2，)，∴k＝＝.]

4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

[解]　(1)∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，所以e＝＝.

(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，设B(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.

将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，

即＋＝1，解得a2＝3c2，①

又由·＝(－c，－b)·＝，

得b2－c2＝1，即a2－2c2＝1.②

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆的方程为＋＝1.