2020版高考数学一轮复习课后限时集训53《排列与组合》(理数)（含解析） 试卷
展开课后限时集训(五十三)
(建议用时：60分钟)
A组 基础达标
一、选择题
1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是( )
A．30 B．42
C．36 D．35
C [因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]
2．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
C [三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37种．故选C.]
3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16
C．13 D．10
C [分两类情况：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．]
4.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的游览线路有( )
A．6种 B．8种
C．12种 D．48种
D [从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有C种选法，参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有C种选法，参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任选一个，有C种选法，则共有CCC＝48(种)线路．故选D.]
5．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )
A．6 B．12
C．18 D．19
D [在物理、政治、历史中选一科的选法有CC＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.]
6．(2018·南昌一模)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
A [法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)．
法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．]
7．(2019·长沙模拟)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是( )
A．72 B．144
C．240 D．288
D [第一类：选一对夫妻相邻捆绑，插入第二对夫妻中间，最后一对夫妻排在首尾，则有CACAA＝48.
第二类：选一对夫妻相邻捆绑，插入形如BCbc(其中Aa，Bb，Cc为三对夫妻)中，共有CACAAC＝240种．
故共有48＋240＝288种排列方式．]
二、填空题
8．由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．
10 [根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为CA＝4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.]
9．国家教育部为了发展贫困地区的教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要将他们分配到相应的地区去任教．现要将6名免费培养的教育专业师范毕业生平均分配到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
90 [先把这6名毕业生平均分成3组，有种方法，再将这3组毕业生分配到3所学校，有A种方法，故将这6名毕业生平均分配到3所学校去任教，共有·A＝90(种)分配方法．]
10．12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球个数不少于其编号数，则不同的方法有________种．
10 [先把每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C＝10种．]
B组 能力提升
1．(2019·日照模拟)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每一级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数为( )
A．336 B．84
C．343 D．210
A [若3人站在不同的台阶上共有A种不同的站法；若3人中恰有2人同时在一个台阶上，则共有CA种不同的站法．故共有A＋CA＝336种不同的站法，选A.]
2．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为( )
A．16 B．20
C．26 D．40
A [把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有CA种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有(C＋1)种，则不同的分配方案种数为CA－(C＋1)＝16.故选A.]
3.(2019·衡水模拟)已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．
18 [根据题意，分两步进行分析．第一步，对于A，B，C区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同，将3种
不同的植物全排列，安排在A，B，C区域，有A＝6(种)种法；第二步，对于D，E区域，若A，E区域种的植物相同，则D区域有1种种法，若A，E区域种的植物不同，则E区域有1种种法，D区域有2种种法，则D，E区域共有1＋2＝3(种)不同的种法．故不同的种法共有6×3＝18(种)．]
4.如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两顶点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是________．
420 [法一：由题设，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，不同的染色方法共有5×4×3＝60(种)．
当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3，其余两种颜色为4,5，若C染2，则D可染3或4或5，有3种不同的染色方法；若C染4，则D可染3或5，有2种不同的染色方法；若C染5，则D可染3或4，有2种不同的染色方法．所以当S，A，B染好时，C，D还有7种不同的染色方法，故不同染色方法有60×7＝420(种)．
法二：以S，A，B，C，D的顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种不同的方法．第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种不同的方法．第三步，B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种不同的方法．第四步，C点染色，也有3种不同的方法，但考虑到D点与S，A，C分别在同一条棱上，需要对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种不同的染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种不同的染色方法，D点也有2种不同的染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理，得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．
法三：按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A种不同的染色方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有2×A种不同的染色方法；第三类，只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有A种不同的染色方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为A＋2×A＋A＝420.]
