2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第一章第一节　集合 学案

第一章 集合与常用逻辑用语
第一节　集　　合
2019考纲考题考情



1．集合的含义与表示方法
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系

3.集合的基本运算

　
1．集合元素的三个特性
确定性、无序性、互异性。
2．集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。
3．注意空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A。
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B。
(3)补集的性质：A∪(A)＝U；A∩(A)＝∅；(A)＝A。(A∩B)＝(A)∪(B)；(A∪B)＝(A)∩(B)。

一、走进教材
1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
解析　因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a∉P。故选D。
答案　D
2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。
解析　由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。
答案　64
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{ －2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
解析　根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}。故选A。
答案　A
4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
解析　因为A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}。故选C。
答案　C
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．3　　　　B．2 C．1　　　　D．0
解析　联立方程组解得或所以交点坐标分别是，。故选B。

解析：集合A表示单位圆上的点的集合，集合B表示直线y＝x上的点的集合，根据图象容易判断有两个交点，故选B。

答案　B
三、走出误区
微提醒：①忽视集合的互异性致使出错；②分类讨论不全面导致漏解。
6．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________。
解析　因为B⊆A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3。
答案　0或3
7．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________。
解析　易得M＝{a}。因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1。
答案　0或1或－1

考点一 集合的含义及表示
【例1】　(1)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为(　　)
A．3 B．6
C．8 D．9
(2)设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________。
解析　(1)集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个。故选D。
(2)因为集合A，B中有唯一的公共元素9，所以9∈A。若2a－1＝9，即a＝5，此时A＝{－4，9,25}，B＝{9,0，－4}，则集合A，B中有两个公共元素－4,9，与已知矛盾，舍去。若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A＝{－4,9,5}，B＝{－2，－2,9}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意。综上所述，a＝－3。
答案　(1)D　(2)－3


1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性。
【变式训练】　(1)(2019·湖北天门等三地联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)
A．3　　　　B．4 C．5　　　　D．6
(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________。
解析　(1)a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4。故选B。
(2)若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，不符合题意。综上可知，a＝0或a＝1。
答案　(1)B　(2)0或1
考点一 集合的含义及表示
【例2】　(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．7　　　　B．8 C．15　 　　D．16
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________。
解析　(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个。或因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)。
(2)因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1