2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第三章第六节　解三角形 学案

第六节　解 三 角 形
2019考纲考题考情

考纲要求
考题举例
考向标签
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
2018·全国卷Ⅰ·T17(利用正弦、余弦定理求角、求边)
2018·全国卷Ⅱ·T6(利用余弦定理求边)
2018·全国卷Ⅲ·T9(利用余弦定理求角)
2017·全国卷Ⅰ·T17(正、余弦定理)
2017·全国卷Ⅱ·T17(正、余弦定理)
命题角度：
1．正弦定理和余弦定理
2．解三角形的综合应用
核心素养：逻辑推理、数学运算




1．正弦定理
＝＝＝2R
其中2R为△ABC外接圆直径。
变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC。
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC。
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC。
变式：cosA＝；cosB＝；
cosC＝。
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA。
3．解三角形
(1)已知三边a，b，c。
运用余弦定理可求三角A，B，C。
(2)已知两边a，b及夹角C。
运用余弦定理可求第三边c。
(3)已知两边a，b及一边对角A。
先用正弦定理，求sinB，sinB＝。
①A为锐角时，若a0)，在△BCD中，由正弦定理得＝，所以BD＝2sin∠BCD，又sin∠BCD＝sin∠ACB＝，所以BD＝。在△ABD中，(x＋1)2＝1＋2－2··cos(90°＋30°)，化简得x2＋2x＝，即x3＝2，故x＝，故AC＝。
答案　(1)A　(2)
考点二 判断三角形形状
【例2】　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析　(1)因为＝，所以＝。所以b＝c。又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝。因为A∈(0，π)，所以A＝。所以△ABC是等边三角形。
(2)因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sinC，而＋≥2＝2，当且仅当sinA＝sinB时取等号。所以2sinC≥2，即sinC≥1。又sinC≤1，故可得sinC＝1，所以C＝90°。又因为sinA＝sinB，所以A＝B。故△ABC为等腰直角三角形。故选C。
答案　(1)C　(2)C

判断三角形形状的两种思路
1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。
2．化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状。此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论。
【变式训练】　(2019·山西太原五中模拟)在△ABC中，＝sin2(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析　由cosB＝1－2sin2得sin2＝，所以＝，即cosB＝。由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2。所以△ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等。故选A。

解析：由正弦定理得cosB＝，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等。故选A。

答案　A
考点三 三角形的面积问题
【例3】　(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2。
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积。
解　(1)由已知条件可得tan A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)，或c＝4。
(2)如图，由题设可得∠CAD＝，

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
＝1，
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为。

解法一：由余弦定理得cosC＝，
在Rt△ACD中，cosC＝，
所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，
所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sinC＝×＝。
解法二：∠BAD＝，由余弦定理得cosC＝，所以CD＝，所以AD＝，所以S△ABD＝×4××sin∠DAB＝。
解法三：过B作BE垂直AD，交AD的延长线于E，在△ABE中，∠EAB＝－＝，AB＝4，所以BE＝2，所以BE＝CA，从而可得△ADC≌△EDB，所以BD＝DC，即D为BC中点，所以S△ABD＝S△ABC＝××2×4×sin∠CAB＝。


三角形面积公式的应用原则
1．对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式。
2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化。
【变式训练】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________。
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA＝2ctanB，且a＝5，△ABC的面积为2，则b＋c的值为________。
解析　(1)因为bsinC＋csinB＝4asinBsinC，由正弦定理得＝＝＝2R，可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为B，C∈(0，π)，所以sinBsinC≠0，即4sinA＝2，sinA＝，又b2＋c2－a2＝8＝2bccosA>0，所以A＝且bc＝，则S△ABC＝bcsinA＝××＝。
(2)由正弦定理及btanB＋btanA＝2ctanB，得sinB·＋sinB·＝2sinC·，因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，即cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，亦即sin(A＋B)＝2sinCcosA，故sinC＝2sinCcosA。因为sinC≠0，所以cosA＝，A∈(0，π)，所以A＝。由面积公式，知S△ABC＝bcsinA＝2，所以bc＝8。由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，代入可得b＋c＝7。
答案　(1)　(2)7

1．(配合例1使用)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin－cos＝。
(1)求cosB的值；
(2)若b2－a2＝ac，求的值。
解　将sin－cos＝两边同时平方得，
1－sinB＝，得sinB＝，故cosB＝±，
又sin－cos＝>0，所以sin>cos，
所以∈，所以B∈，故cosB＝－。
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋ac，
所以a＝c－2acosB＝c＋a，
所以c＝a，故＝。
2．(配合例1使用)如图所示，在△ABC中，B＝，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE＝8，AC＝4，∠CED＝。

(1)求CE的长；
(2)若CD＝5，求cos∠DAB的值。
解　(1)因为∠AEC＝π－＝，
所以在△AEC中，由余弦定理得AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcos∠AEC，
所以160＝64＋CE2＋8CE，
所以CE2＋8CE－96＝0，
所以CE＝4(负值舍去)。
(2)在△CDE中，由正弦定理得＝，
所以5sin∠CDE＝4×，所以sin∠CDE＝，
因为点D在边BC上，所以∠CDE>B＝，而∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos150°＝84，所以AB＝＝2。
(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，
所以∠CAD＝105°，
由正弦定理得＝，
所以CD＝3＋，
又∠ACD＝180°－150°＝30°，
所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝。
第2课时　解三角形的综合应用


考点一 三角形的实际应用
【例1】　如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________。

解析　依题意知，在△ACD中，∠CAD＝30°，由正弦定理得AC＝＝2，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3。因为在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10，所以AB＝。
答案　

利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
1．分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图。
2．建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型。
3．求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解。
4．检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【变式训练】　如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米。


解析　在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°。因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°。所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°。由正弦定理，可得＝，所以＝，得AD＝400(米)。在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos150°＝4002×13，解得AC＝400(米)。故索道AC的长为400米。
答案　400
考点二 解三角形与三角函数的综合应用
【例2】　(2019·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－。
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积。
解　(1)f(x)＝cos2x－sinxcosx－
＝－sin2x－
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，
所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和。
(2)由(1)知f(x)＝－sin，
所以f(A)＝－sin＝－1，
因为△ABC为锐角三角形，所以0