2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第六章第五节　合情推理与演绎推理 学案

第五节　合情推理与演绎推理

2019考纲考题考情

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。

(2)类比推理

①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。

②特点：是由特殊到特殊的推理。

2．演绎推理

(1)演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式

①大前提——已知的一般原理。

②小前提——所研究的特殊情况。

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。

1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。

2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。

3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。

一、走进教材

1．(选修2－2P84A组T3改编)对于任意正整数n,2n与n2的大小关系为(　　)

A．当n≥2时，2n≥n2 B．当n≥3时，2n≥n2

C．当n≥4时，2n>n2 D．当n≥5时，2n>n2

解析　当n＝2时，2n＝n2；当n＝3时，2n<n2；当n＝4时，2n＝n2；当n＝5时，2n>n2；当n＝6时，2n>n2；归纳判断，当n≥5时，2n>n2。故选D。

答案　D

2．(选修2－2P84A组T5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________。

解析　根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。

答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)

二、走近高考

3．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则(　　)

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

解析　由于甲不知道自己的成绩，故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好，所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩，乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩。故选D。

答案　D

4．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________。

解析　由题意得，丙不拿2和3。若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意。故甲卡片上的数字是1和3。

答案　1和3

三、走出误区

微提醒：①归纳推理没有找出规律；②类比推理类比规律错误。

5．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：

x＋≥2，

x＋≥＋＋≥3，

x＋＝＋＋＋≥4，

……

类比得，x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________。

解析　由已知三个式子知n＝1时，a＝1；n＝2时，a＝22＝4；n＝3时，a＝33＝27，由此归纳可得a＝nn。

答案　nn

6．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________。

解析　从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比为3∶1，故正四面体P－ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于＝3＝。

答案　

考点一   归纳推理

【例1】　(1)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…。若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝(　　)

A．8　　　 B．9  C．10　　　 D．11

(2)(2019·湖南五市十校联考)图①是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到。图②是第1代“勾股树”，重复图②的作法，得到图③为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为(　　)

A．n B．n2

C．n－1 D．n＋1

解析　(1)观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n3时，等号右边的数为2，因此，令2＝3 025，则＝55，所以n＝10。故选C。

(2)最大的正方形面积为1，当n＝1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为n＋1。故选D。

答案　(1)C　(2)D

归纳推理是从特殊到一般的推理，所以应根据题中所给的现有的图形、数据、结构等着手分析，从而找出一般性的规律或结论。

【变式训练】　《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝，5＝，则按照以上规律，若8＝具有“穿墙术”，则n＝(　　)

A．35 B．48

C．63 D．80

解析　根据规律得3＝1×3，8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，所以n＝7×9＝63。故选C。

答案　C

考点二   类比推理

【例2】　(1)(2019·四川广元一模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝(　　)

A．2πr4 B．3πr4

C．4πr4 D．6πr4

(2)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1。那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________。

解析　(1)由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度。由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故W＝2πr4。故选A。

(2)由椭圆与双曲线类比可得，切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1。

答案　(1)A　(2)－＝1

1．进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想。其中找到合适的类比对象是解题的关键。

2．类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等。

【变式训练】　(2018·桂林模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝。类比上述过程，则 ＝________。

解析　由题意可得＝x(x≥0)，整理得(x＋1)(x－2 018)＝0(x≥0)，解得x＝2 018，即＝2 018。

答案　2 018

考点三   演绎推理

【例3】　(1)(2019·山东淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理(　　)

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．结论正确

(2)(2019·湖南模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支。十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推。已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为________年(　　)

A．丙酉　　B．戊申  C．己申　　D．己酉

解析　(1)大前提是“对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误。故选A。

(2)天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80÷10＝8，则2029年的天干为己；80÷12＝6……8，则2029年的地支为酉。故选D。

答案　(1)A　(2)D

演绎推理的推证规则

1．演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略。

2．在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成。

【变式训练】　(1)用“三段论”推理：任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0。你认为这个推理(　　)

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．是正确的

(2)在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和。那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为________。

解析　(1)实数0的绝对值等于0，不大于0，大前提错误。

(2)因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙。

答案　(1)A　(2)甲、丁、乙、丙

1．(配合例1使用)给出以下数对序列：

(1,1)

(1,2)(2,1)

(1,3)(2,2)(3,1)

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

……

记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(　　)

A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)

C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)

解析　由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，所以anm＝(m，n－m＋1)。

答案　A

2．(配合例1使用)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________。

解析　由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2。

答案　n2

3．(配合例2使用)如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等。试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性。

解　

如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积相等。

下面证明该结论的正确性：

设内切球半径为R，

则VA－BEFD＝(S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD)×R＝VA－EFC＝(S△AEC＋S△ACF＋S△ECF)×R，

即S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD＝S△AEC＋S△ACF＋S△ECF，两边同加S△AEF可得结论。

4．(配合例3使用)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)。证明：

(1)数列是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an。

证明　(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，

即nSn＋1＝2(n＋1)Sn。

故＝2·，(小前提)

故是以2为公比，1为首项的等比数列。(结论)

(大前提是等比数列的定义)

(2)由(1)可知数列是等比数列，(大前提)

所以＝4·(n≥2)，

即Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)。

又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)

所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an。(结论)