2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章第四节　二次函数与幂函数 学案

第四节　二次函数与幂函数
2019考纲考题考情



1．幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数。
(2)幂函数的图象比较：

2．二次函数
(1)解析式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)。
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。
(2)图象与性质：
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1。
答案　－1
二、走近高考
3．(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
解析　设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b。所以M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关。故选B。
答案　B
三、走出误区
微提醒：①二次函数解析式形式选择不恰当，致使运算量偏大；②幂函数定义不清晰，导致出错；③二次函数在给定区间上的恒成立问题忽视给定区间的作用致误。
4．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为(　　)
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析　设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3。故选D。
答案　D
5．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减。
解析　设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝x，由性质可知函数y＝x在(0，＋∞)上递减。
答案　y＝x　(0，＋∞)
6．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________。
解析　f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可。因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1。由－m－1>0，得m0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x。

(2)由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称，所以－a＝－，即b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4。
答案　(1)x2＋2x　(2)－2x2＋4
考点三 二次函数的图象和性质微点小专题
方向1：二次函数的图象
【例3】　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)

解析　当00，因此00，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2。故选D。
答案　D

1．(配合例2使用)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足条件：①f(3－x)＝f(x)；②f(1)＝0；③对任意实数x，f(x)≥－恒成立，则其解析式为f(x)＝________。
解析　依题意可设f(x)＝a2＋k，由f(1)＝a＋k＝0，得k＝－a，从而f(x)＝a2－≥－恒成立，则－≥－，且a>0，即＋－≤0，即≤0，且a>0，所以a＝1。从而f(x)＝2－＝x2－3x＋2。
答案　x2－3x＋2
2．(配合例3使用)设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(　　)

　 ①　　　　②　　　　③　　　　④
A． B．
C．1 D．－1
解析　因为b>0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a