2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章第六节　对数与对数函数 学案


第六节　对数与对数函数
2019考纲考题考情



1．对数的概念
(1)对数的定义
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a＞0，且a≠1)　
logaN
常用对数
底数为10　
lgN
自然对数
底数为e　
lnN
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)。
②logaaN＝N(a＞0，且a≠1)。
(2)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零，且不等于1，N>0)。
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad。
(3)对数的运算法则
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN。
②loga＝logaM－logaN。
③logaMn＝nlogaM(n∈R)。
④logamMn＝logaM(m，n∈R)。
3．对数函数的图象与性质


4.y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的关系
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称。
　
1．指数与对数的等价关系：ax＝N⇔x＝logaN。
2．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad。

3．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。
故0 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。

一、走进教材
1．(必修1P75A组T11改编)(log29)·(log34)＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
解析　(log29)·(log34)＝×＝×＝4。故选D。
答案　D
2．(必修1P73练习T3改编)已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
解析　因为01。所以c>a>b。故选D。
答案　D
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析　y＝lnx图象上的点P(1,0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝lnx图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B项正确。故选B。

解析：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x＝1的对称点P(2－x，y)在函数y＝lnx图象上，所以y＝ln(2－x)。故选B。

答案　B
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________。
解析　根据题意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7。
答案　－7
三、走出误区
微提醒：①对数的运算性质不熟致误；②对数函数的图象特征不熟致误；③忽视对底数的讨论致误。
5．有下列结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9。其中正确结论的序号是________。
解析　①lg10＝1，则lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③底的对数等于1，则x＝10；④底的对数等于1；⑤logmn＝，log3m＝，则＝2，即log3n＝2，故n＝9。
答案　①②③④⑤
6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a>1，c>1 B．a>1,0 C．01 D．0 解析　由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即logac>0，所以0 答案　D
7．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________。
解析　分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0 答案　2或

考点一 对数式的化简与求值
【例1】　(1)已知2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则的值为________。
(2)已知2a＝5b＝10，则＝________。
解析　(1)由题知所以M>2N>0。由2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，得loga(M－2N)2＝loga(MN)，所以(M－2N)2＝MN，所以M2－5MN＋4N2＝0，即(M－4N)(M－N)＝0，所以M＝4N或M＝N(舍去)，所以＝4。
(2)由2a＝5b＝10可得a＝，b＝，所以＋＝2(lg2＋lg5)＝2，所以＝2。
答案　(1)4　(2)2

1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论，在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形。
2．利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化，需注意真数大于0。
【变式训练】　(1)求值：＝________。
(2)设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝________。
解析　(1)原式＝＝＝。

答案　(1)　(2)6
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】　(1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
(2)设实数a，b，c分别满足2a3＋a＝2，blog2b＝1，clog5c＝1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
解析　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称。因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B。
(2)

令f(x)＝2x3＋x－2，则f(x)在R上单调递增，且f(0)·f(1)＝－2×1＝－2<0，即a∈(0,1)。在同一坐标系中作出y＝，y＝log2x，y＝log5x的图象，由图象得1b>a。故选C。
答案　(1)B　(2)C

1．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项。
2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。
【变式训练】　(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0
(2)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________。
解析　(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称。设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A。
(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1。

答案　(1)A　(2)(1，＋∞)
考点三 对数函数的性质及应用微点小专题
方向1：比较对数值的大小
【例3】　(2018·天津高考)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析　log＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x为增函数，所以log35>log3>log33＝1，因为函数y＝x为减函数，所以<0＝1，故c>a>b。故选D。
答案　D

对数值的大小比较方法：①化为同底的对数后利用函数的单调性比较；②利用作差或作商法比较；③利用中间值(0或1)比较；④化为同真数的对数后利用图象比较。
方向2：解不等式
【例4】　(1)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x，则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是________。
(2)设函数f(x)＝若f(a) 解析　(1)由题意知y＝f(x)的图象如图所示，所以满足f(x)>0的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)。


答案　(1)(－1,0)∪(1，＋∞)　(2)(－∞，－1)∪(0,1)

解此类不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f”，变原函数不等式为对数不等式，再把对数不等式化为同底的对数不等式，再利用对数函数的单调性进行求解。
方向3：对数性质的综合应用
【例5】　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)。
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
解　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)。
由－x2＋2x＋3>0，得－1 即函数f(x)的定义域为(－1,3)。
令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)。
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝。
故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0。

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的。
【题点对应练】　
1．(方向1)设a＝log2，b＝e，c＝lnπ，则(　　)
A．c C．a 解析　易知a<0,01。故a 答案　C
2．(方向2)若loga<1，则实数a的取值范围是________。
解析　当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上为增函数，所以loga ∪(1，＋∞)。
答案　∪(1，＋∞)
3．(方向3)已知函数f(x)＝log (x2－2x－3)，规定区间E，对任意x1，x2∈E，当x1 A．(3,6) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(－3，－1)
解析　由题意，得函数f(x)＝log (x2－2x－3)在区间E上单调递增，由x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，若x<－1时，当x增大时，x2－2x－3减小，f(x)＝log (x2－2x－3)增大，即(－∞，－1)为函数f(x)＝log (x2－2x－3)的单调递增区间，而(－3，－1)⊆(－∞，－1)，所以(－3，－1)可作为E。故选D。
答案　D


1．(配合例2使用)函数y＝lncosx的大致图象是(　　)

解析　在上，t＝cosx是减函数，则y＝lncosx是减函数，且函数值y<0，故排除B，C；又因为y＝lncosx是偶函数，排除D。故选A。
答案　A
2．(配合例2使用)已知函数f(x)＝x2－logmx在上恒有f(x)<0成立，则实数m的取值范围为________。
解析　

要使函数f(x)＝x2－logmx在上恒有f(x)<0成立，则有x2 答案　≤m<1
3．(配合例3使用)设a＝，b＝log2 017，c＝log2 018，则(　　)
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析　因为a＝>2 0170＝1,0b>c。故选D。
答案　D
4．(配合例4使用)若loga(a2＋1) A．(0,1) B．
C． D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析　由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)1，所以a>。综上，a∈。故选C。
答案　C
5．(配合例4使用)已知函数f(x)＝ln(ax＋b)(a>0且a≠1)是R上的奇函数，则不等式f(x)>alna的解集是(　　)
A．(a，＋∞)
B．(－∞，a)
C．当a>1时，解集是(a，＋∞)，当0 D．当a>1时，解集是(－∞，a)，当0 解析　依题意，f(0)＝ln(1＋b)＝0，解得b＝0，于是f(x)＝lnax＝xlna。所以f(x)>alna⇔xlna>alna。当a>1时，x>a；当0 答案　C
6．(配合例5使用)已知π为圆周率，e＝2.718 28…为自然对数的底数，则(　　)
A．πe<3e B．πlog3e>3logπe
C．3e－2π<3πe－2 D．logπe>log3e
解析　对于A，因为函数y＝xe是(0，＋∞)上的增函数，且π>3，所以πe>3e，A项错误；对于B，πlog3e>3logπe⇔>⇔πlnπ>3ln3⇔ππ>33，B项正确；对于C,3e－2π<3πe－2⇔3e－3<πe－3，而函数y＝xe－3是(0，＋∞)上的减函数，C项错误；对于D，logπe>log3e⇔>⇔lnπ 答案　B

特例法和设元法巧解三元变量比较大小问题
比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解。
【典例】　设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则，，的大小关系不可能是(　　)
A．<< B．<<
C．＝＝ D．<<
【解析】　解法一：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，此时选项C正确；取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知<<，此时选项A正确；取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知<<，此时选项D正确。综上，利用排除法可知本题应选B。
解法二：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1。又易知k>0，接下来对k与1的大小关系加以讨论。若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确；若03k－1>5k－1，所以<<，所以选项D有可能正确；若k>1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1<3k－1<5k－1，所以<<，所以选项A有可能正确。综上，利用排除法可知选B。
【答案】　B

解法一是在特例的基础上，结合排除法解答；解法二借助设元变形，先将目标问题等价转化为考查2k－1,3k－1,5k－1的大小，再对幂函数f(t)＝tk－1的单调性加以讨论分析。特别提醒——幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性可分为三种情况：①若α>0，则单调递增；②若α＝0，则为常数函数；③若α<0，则单调递减。
【变式训练】　设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z
C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y
解析　取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log2253y。综上可得，3y<2x<5z。故选A。

解析：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z

答案　A