2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章第九节　函数模型及其应用

第九节　函数模型及其应用

2019考纲考题考情

1．三种函数模型性质比较

2.几种常见的函数模型

 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢。

一、走进教材

1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x   B．y＝x2－1

C．y＝2x－2   D．y＝log2x

解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意。故选D。

答案　D

二、走近高考

2．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何。”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝________，y＝________。

解析　因为z＝81，所以解得

答案　8　11

3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080。下列各数中与最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)(　　)

A．1033   B．1053

C．1073   D．1093

解析　因为＝>0，所以lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。所以≈1093。故选D。

答案　D

三、走出误区

微提醒：①对三种函数增长速度的理解不深致错；②建立函数模型出错；③计算出错。

4．已知f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)

A．f (x)>g(x)>h(x)

B．g(x)>f (x)>h(x)

C．g(x)>h(x)>f (x)

D．f (x)>h(x)>g(x)

解析　由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f (x)>h(x)。故选B。

答案　B

5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)。1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　)

A．36万件   B．18万件

C．22万件   D．9万件

解析　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18万件时，L(x)有最大值。故选B。

答案　B

6．一个容器装有细砂a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细砂量为y＝ae－bt cm3，经过8 min后发现容器内还有一半的细砂，则再经过________min，容器中的细砂只有开始时的八分之一。

解析　当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，容器中的细砂只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一。

答案　16

考点一  用函数图象的变化刻画变化过程　　　

【例1】　(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图。

根据该折线图，下列结论错误的是(　　)

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析　通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B正确。从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大。故选A。

答案　A

当根据题意不易建立函数模型时，根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。

【变式训练】　汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油

D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

解析　对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1 L汽油，行驶里程都超过5 km，则A错误。对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错误。对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，则C错误。对于选项D：速度在80 km/h 以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对。

答案　D

考点二  已知函数模型的实际问题

【例2】　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

解　(1)因为x＝5时，y＝11，

所以＋10＝11，a＝2。

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量

y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润

f (x)＝(x－3)

＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6。

从而，f ′(x)＝30(x－4)(x－6)。

于是，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：

由上表可得，x＝4是函数f (x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点。

所以，当x＝4时，函数f (x)取得最大值，且最大值等于42。

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

求解已给函数模型解决实际问题的关注点

1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数。

2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数。

3．利用该模型求解实际问题。

【变式训练】　某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)。若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是______h。

解析　依题意有192＝eb,48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以e22k＝＝＝，所以e11k＝或－(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24(h)。

答案　24

考点三  构建函数模型的实际问题微点小专题

方向1：构建二次函数模型

【例3】　某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)

A．10.5万元   B．11万元

C．43万元   D．43.025万元

解析　设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－)2＋0.1×＋32。因为x∈[0,16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元。故选C。

答案　C

方向2：构建分段函数模型

【例4】　“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数。当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年。

(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式。

(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值。

解　(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2；

当4<x≤20时，设v＝ax＋b，

显然v＝ax＋b在(4,20]内是减函数，

由已知得解得

所以v＝－x＋。

故函数v＝

(2)设年生长量为f (x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x)＝

当0<x≤4时，f (x)为增函数，

故f (x)max＝f (4)＝4×2＝8；

当4<x≤20时，f (x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f (x)max＝f (10)＝12.5。

所以当0<x≤20时，f (x)的最大值为12.5。

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米。

方向3：构建指数函数、对数函数模型

【例5】　(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)

A．1.5%　　B．1.6%  C．1.7%　　D．1.8%

(2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶。国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右。如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为(提示：1.0653≈1.208)(　　)

A．93.8万亿元   B．99.9万亿元

C．97万亿元   D．106.39万亿元

解析　(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%。故选C。

(2)由题意可知，2020年我国国内年生产总值约为：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(万亿元)。故选B。

答案　(1)C　(2)B

解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答。以上过程可简洁表述为：

―→―→―→