第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

2019考纲考题考情

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示。

2.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下

3．简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”。

2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度。

一、走进教材

1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度   B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度   D．向左平移个单位长度

答案　A

2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现。下表是今年前四个月的统计情况：

选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为____________。

解析　设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6。因为当x＝1时， y＝6，所以6＝sin＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cosx。

答案　y＝6－cosx

二、走近高考

3．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

解析　把曲线C1：y＝cosx各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得曲线y＝cos2x，再向左平移个单位长度，得曲线y＝cos2＝cos＝sin＝sin。故选D。

答案　D

4．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．y＝2sin

B．y＝2sin

C．y＝2sin

D．y＝2sin

解析　由图可知，A＝2，最小正周期T＝π，所以ω＝＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)。又因为图象过点，所以2sin＝2，即＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，得φ＝－，所以y＝2sin。

答案　A

三、走出误区

微提醒：①横坐标伸缩与ω的关系不清；②搞不清f (x)在x＝处取最值；③确定不了解析式中φ的值。

5．函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________。

解析　根据函数图象变换法则可得。

答案　y＝sinx

6．若函数f (x)＝sinωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________。

解析　由题意知当x＝时，函数取得最大值，所以有sin＝1，所以＝＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋6k(k∈Z)，又0<ω<2，所以ω＝。

答案　

7．已知简谐运动f (x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的初相φ为________。

解析　将点(0,1)代入函数表达式可得2sinφ＝1，即sinφ＝。因为|φ|<，所以φ＝。

答案　

考点一  　“五点法”作图及图象变换　　　　　　　　　　　　

【例1】　(1)(2019·福建漳州八校联考)若函数f (x)＝cos，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f (x)的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

(2)(2019·景德镇测试)已知函数f (x)＝4cosx·sin＋a的最大值为2。

①求a的值及f (x)的最小正周期；

②画出f (x)在[0，π]上的图象。

(1)解析　函数f (x)＝cos＝sin＝sin，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，则只需将f (x)的图象向右平移个单位长度即可。故选A。

答案　A

(2)解　①f (x)＝4cosxsin＋a

＝4cosx·＋a

＝sin2x＋2cos2x＋a

＝sin2x＋cos2x＋1＋a

＝2sin＋1＋a的最大值为2，

所以a＝－1，最小正周期T＝＝π。

②由①知f (x)＝2sin，列表：

画图如下：

1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标。

2．由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

【变式训练】　(2018·天津高考)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)

A．在区间上单调递增

B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

解析　y＝sin＝sin2，将其图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin2x的图象。由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z。令k＝0，可知函数y＝sin2x在区间上单调递增。故选A。

答案　A

考点二  函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

【例2】　(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图①所示，则φ＝________。

(2)已知函数f (x)＝Msin(ωx＋φ)的部分图象如图②所示，其中A(2,3)(点A为图象的一个最高点)，B，则函数f (x)＝________。

解析　(1)由题设图象知，A＝2，可得f (x)＝2sin(ωx＋φ)。由函数图象过点(0，－1)，可得2sinφ＝－1，即sinφ＝－，则φ＝2kπ－(k∈Z)或φ＝2kπ－(k∈Z)。因为<<T，所以<T<，所以<ω<　①。由函数图象过点，得sin＝0，则ω＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)　②。由①②得φ∈(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－。

(2)由题意得M＝3，T＝2＋，所以T＝6＝，所以ω＝，所以f (x)＝3sin，将A(2,3)代入可得3＝3sin，因为|φ|<，所以φ＝－，所以f (x)＝3sin。

答案　(1)－　(2)3sin

利用图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑：

1．根据最大值或最小值求出A的值。

2．根据周期求出ω的值。

3．根据函数图象上的某一特殊点求出φ的值。

【变式训练】　已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A，B(π，－1)，则φ值为________。

解析　根据函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A，B(π，－1)，可得从点A到点B正好经过了半个周期，即×＝π－，所以ω＝2。再把点A，B的坐标代入函数解析式可得2sin＝－2sinφ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sinφ＝－1，所以sinφ＝－，所以φ＝2kπ－或φ＝2kπ－，k∈Z。再结合“五点作图法”，可得φ＝－。

答案　－

考点三  三角函数的综合问题微点小专题

方向1：三角函数性质的综合应用

【例3】　已知函数f (x)＝1＋2cosxcos(x＋3φ)是偶函数，其中φ∈，则下列关于函数g(x)＝cos(2x－φ)的正确描述是(　　)

A．g(x)在区间上的最小值为－1

B．g(x)的图象可由函数f (x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到

C．g(x)的图象的一个对称中心是

D．g(x)的一个单调递减区间是

解析　因为函数f (x)＝1＋2cosxcos(x＋3φ)是偶函数，y＝1，y＝2cosx都是偶函数，所以y＝cos(x＋3φ)是偶函数，所以3φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，所以g(x)＝cos。当－≤x≤时，－≤2x－≤，cos∈[0,1]，故A项错误；f (x)＝1＋2cosxcos(x＋π)＝1－2cos2x＝－cos2x，显然B项错误；当x＝－时，g(x)＝cos＝0，故C项正确；当0≤x≤时，－≤2x－≤，g(x)＝cos有增有减，故D项错误。故选C。

答案　C

先将y＝f (x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题。

方向2：三角函数零点(方程的根)问题

【例4】　已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________。

解析　方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin，x∈。设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sint，t∈有两个不同的实数根。所以y1＝和y2＝sint，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1)。

答案　(－2，－1)

【互动探究】　本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________。

解析　由例题知，的取值范围是，所以－2≤m<1，所以m的取值范围是[－2,1)。

答案　[－2,1)

三角函数的零点问题可转化为两个函数图象的交点问题。

【题点对应练】　

1．(方向1)将偶函数f (x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)在上的最小值是(　　)

A．－2   B．－1

C．－   D．－

解析　由题意可知f (x)＝2sin，因为函数f (x)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin＝2sin。因为函数f (x)＝2sin为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)，θ＝kπ＋(k∈Z)。又因为0<θ<π，所以θ＝。所以g(x)＝2sin。因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈。所以g(x)∈[－2,1]，所以函数g(x)在上的最小值为－2。故选A。

答案　A

2．(方向2)若函数f (x)＝sin(ω>0)满足f (0)＝f ，且函数在上有且只有一个零点，则f (x)的最小正周期为________。

解析　因为f (0)＝f ，所以x＝是f (x)图象的一条对称轴，所以f ＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z)。又f (x)在上有且只有一个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤(k∈Z)，所以－≤k≤，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π。

答案　π

1．(配合例1使用)函数y＝sin的图象可以由函数y＝cos的图象(　　)

A．向右平移个单位长度得到

B．向右平移个单位长度得到

C．向左平移个单位长度得到

D．向左平移个单位长度得到

解析　解法一：由y＝cos＝sin，y＝sin＝sin，知函数y＝sin的图象可以由y＝cos的图象向右平移个单位长度得到。

解法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B。

答案　B

2．(配合例2使用)函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos的图象，则只需将f (x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

解析　根据函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象知，＝－＝，所以T＝π，即＝π，解得ω＝2。根据“五点画图法”可知2×＋φ＝π，解得φ＝，所以f (x)＝sin。所以g(x)＝cos＝sin＝sin。为了得到g(x)的图象，只需将f (x)的图象向左平移个单位长度即可。

答案　A

3．(配合例3使用)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)，若将函数图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则ω的取值不可能是(　　)

A．2   B．4

C．6   D．10

解析　函数f (x)＝sin(ωx＋φ)。将函数f (x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin，由于所得图象关于y轴对称，故函数y＝sin为偶函数，故ω＋φ＝kπ＋，k∈Z　①。将函数f (x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin，由于所得函

数的图象关于原点对称，故函数y＝sin为奇函数，所以－ω·＋φ＝n·π，n∈Z　②。①－②化简可得ω＝4(k－n)＋2，即ω＝4m＋2，m∈Z，即ω是被4除余2的整数。故选B。

答案　B

4．(配合例4使用)函数f (x)＝3sinx－logx的零点的个数是(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析　函数f (x)零点个数即为y＝3sinx与y＝logx两函数图象的交点个数，如图，函数y＝3sinx与y＝logx有5个交点。

答案　D