第二节　平面向量基本定理及坐标表示

2019考纲考题考情

1．平面向量基本定理

(1)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝x i＋yj，a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y。

3．平面向量的坐标运算

4.向量共线的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0。

1．平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然。

2．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0。

3．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝。

一、走进教材

1．(必修4P99例8改编)若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)

A．(2,2)   B．(3，－1)

C．(2,2)或(3，－1)   D．(2,2)或(3,1)

解析　由题意得＝或＝，＝(3，－3)。设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)，当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2,2)；当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3,1)。故选D。

答案　D

2．(必修4P119A组T8改编)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)

A．－   B．

C．－2   D．2

解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)。由ma＋nb与a－2b共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以＝－。故选A。

答案　A

二、走近高考

3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)

A．3   B．2

C．   D．2

解析　根据已知条件，以C为原点，BC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。设圆的半径为r，由题意知BD＝，利用等面积法可得r×＝2，解得r＝，所以圆的方程是x2＋y2＝。由题意得B(－2,0)，A(－2,1)，D(0，1)，设P(x，y)，因为＝λ＋μ，所以(x＋2，y－1)＝λ(0，－1)＋μ(2,0)，即所以μ＋λ＝＋1＋1－y＝2－y＋。根据圆的方程可设x＝cosθ，y＝sinθ，所以μ＋λ＝2－sinθ＋cosθ＝2－(2sinθ－cosθ)＝2－sin(θ－φ)，显然(μ＋λ)max＝3。故选A。

答案　A

4．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)。若c∥(2a＋b)，则λ＝________。

解析　由题可得2a＋b＝(4,2)。因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝。

答案　

三、走出误区

微提醒：①忽视基底中基向量不共线致错；②弄不清单位向量反向的含义出错；③不正确运用平面向量基本定理出错。

5．给出下列三个向量：a＝(－2,3)，b＝，c＝(－1,1)。在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________。

解析　易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2。

答案　2

6．已知A(－5,8)，B(7,3)，则与向量反向的单位向量为________。

解析　由已知得＝(12，－5)，所以||＝13，因此与反向的单位向量为－＝。

答案　

7.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A．   B．－

C．1   D．－1

解析　因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝。

答案　A

考点一  平面向量基本定理的应用

【例1】如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b，＝λa＋μb，则λ＋μ＝________。

解析　由题意知＝＋，又因为A、M、D三点共线，所以存在唯一实数t使得＝t，所以＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t＝(1－t)a＋tb；而也可表示为＝＋，又因为B、M、C三点共线，所以存在唯一实数m使得＝m，所以＝＋m＝＋m(－)＝m＋(1－m)＝ma＋(1－m)b，又因为a与b不共线，所以解得所以＝a＋b，即λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝＋＝。

答案　

平面向量基本定理的实质及解题思路

1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。

2．用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。

【变式训练】　(2019·岳阳质检)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点。若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　连接AC(图略)，由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0。又，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝。

解析：

根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝AT。所以＝＝λ＋μ，因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝。

答案　C

考点二  平面向量的坐标运算

【例2】　(1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)

A．   B．

C．(3,2)   D．(1,3)

(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________。

解析　(1)设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，又＝2，所以所以故选A。

(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)。因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6,2)，即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4。

答案　(1)A　(2)4

向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。

【变式训练】　(1)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是________。

(2)如图所示，以e1，e2为基底，则a＝________。

解析　(1)由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2。设点B为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4,7)。

(2)以e1的起点为原点建立平面直角坐标系，则e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3,1)＝x(1,0)＋y(－1，1)，则所以即a＝－2e1＋e2。

答案　(1)(4,7)　(2)－2e1＋e2

考点三  平面向量坐标运算的应用微点小专题

方向1：共线定理的坐标表示

【例3】　(1)已知点P(－3,5)，Q(2,1)，向量m＝(2λ－1，λ＋1)，若∥m，则实数λ等于(　　)

A．   B．－

C．   D．－

(2)设k∈R，已知平面向量a＝(－3,1)，b＝(－7,3)，则下列向量中与2a－b一定不共线的向量是(　　)

A．c＝(k，k)   B．c＝(－k，－k)

C．c＝(k2＋1，k2＋1)   D．c＝(k2－1，k2－1)

解析　(1)由题知＝(5，－4)，因为∥m，所以5λ＋5＝－8λ＋4，解得λ＝－。故选B。

(2)由条件知2a－b＝(1，－1)，对于C，因为k2＋1＋k2＋1＝2k2＋2>0。故选C。

答案　(1)B　(2)C

1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)已知b≠0，则a∥b的充要条件是存在唯一实数λ使得a＝λb(λ∈R)。

2．利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数。当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解。

方向2：坐标运算的应用

【例4】　已知向量，满足||＝||＝1，⊥，＝λ＋μ(λ，μ∈R)。若M为AB的中点，并且||＝1，则λ＋μ的最大值是(　　)

A．1－   B．1＋

C．   D．1＋

解析　因为向量，满足||＝||＝1，⊥，所以可以分别以，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系。则A(1,0)，B(0,1)。又因为M为AB的中点，所以M。因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，所以＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，即点C(λ，μ)。所以＝。因为||＝1，所以2＋2＝1，即点C(λ，μ)在以为圆心，1为半径的圆上。令t＝λ＋μ，则直线λ＋μ－t＝0与此圆有公共点，所以d＝≤1，解得－＋1≤t≤＋1，即λ＋μ的最大值是1＋。故选B。

答案　B

平面向量坐标运算体现了向量“数”的身份，把几何运算转化为代数运算。

【题点对应练】　

1．(方向1)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)。若(a＋kc)∥(2b－a)，则实数k＝________。

解析　a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－。

答案　－

2．(方向2)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为。如图所示，点C在以O为圆心的上运动。若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________。

解析　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B。设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)，由＝

x＋y，得所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2。

答案　2

1．(配合例1使用)如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，。

解　因为＝－＝a－b，

＝＝a－b，

所以＝＋＝a＋b。

因为＝a＋b，

所以＝＋＝＋

＝＝a＋b，

所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b。

综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b。

2．(配合例2使用)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)

A．a＋b   B．－a－b

C．a＋b   D．a－b

解析　设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b。

答案　A

3．(配合例4使用)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝OB＝2，点M为OB的中点，点P为阴影区域内的任意一点(含边界)，若＝m＋n，则m＋n的最大值为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　以O点为原点，OB所在的直线为x轴，如图建立直角坐标系。设P(x，y)，A(－1，)，M(1,0)，AM：y＝－x＋。则x，y满足的约束条件为又＝m＋n＝(－m＋n，m)，所以令z＝m＋n＝x＋y，利用线性规划知识得，当直线y＝－x＋z与圆x2＋y2＝4相切时，z最大，所以＝2，z＝。故选B。

答案　B