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2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第五章第二节 等差数列 学案
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第二节 等 差 数 列
2019考纲考题考情
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)。
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝。
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。
(2)等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝。
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)。
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an。(等和性)
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d。
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列。
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列。
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列。
(7)S2n－1＝(2n－1)an。
(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)。
1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
2．等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。
3．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d。若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列。
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0。
一、走进教材
1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3,2，7，…，则该数列的第100项为________。
解析 依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487。
答案 487
2．(必修5P46A组T5改编)已知等差数列5,4，3，…，则前n项和Sn＝________。
解析 由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)。
答案 (75n－5n2)
二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和。若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得故选C。
解析：由等差数列的性质得S6＝3(a3＋a4)＝48⇒a3＋a4＝16 ①，又a4＋a5＝24 ②，②－①得2d＝8，所以d＝4。故选C。
答案 C
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和。若S8＝4S4，则a10＝( )
A． B．
C．10 D．12
解析 由S8＝4S4，得8a1＋×1＝4，解得a1＝，所以a10＝＋(10－1)×1＝。
答案 B
三、走出误区
微提醒：①错用公式致误；②求前n项和最值的方法不当致误；③错用性质致误。
5．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )
A．100 B．99
C．98 D．97
解析 设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98。
答案 C
6．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________。
解析 由题意知d<0且即解得－1
7．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________。
解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180。
答案 180
考点一 等差数列的基本运算
【例1】 (1)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________。
(2)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱( )
A． B． C． D．
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，所以d＝6，所以an＝3＋(n－1)·6＝6n－3。
(2)甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得钱。故选C。
答案 (1)an＝6n－3 (2)C
等差数列运算问题的通性通法
1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。
2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。
【变式训练】 (1)(2019·沈阳市质量监测)在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是( )
A．55 B．11
C．50 D．60
(2)已知等差数列{an}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为( )
A． B．
C．1 D．
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55。故选A。
解析：设等差数列{an}的公差为d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55。故选A。
(2)设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得所以中间一项为a5＝a1＋4d＝＋4×＝。故选D。
答案 (1)A (2)D
考点二 等差数列的判定与证明
【例2】 已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)。
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求{an}的通项公式。
解 (1)证明：因为an＋1＋1＝＋1＝，所以＝＝3＋，所以－＝3，所以是首项为＝3，公差为3的等差数列。
(2)由(1)得＝3n，所以an＝－1。
判断数列{an}是否为等差数列，通常有两种方法：①定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)，用定义法证明等差数列时，常选用两个式子an＋1－an＝d或an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”；②等差中项法，证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)。
【变式训练】 (2019·齐齐哈尔八中月考)已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1
(2)在(1)中，设bn＝，求证：当c＝－时，数列{bn}是等差数列。
解 (1)因为a1，a2(a1
所以等差数列{an}的公差为4，
所以Sn＝n·1＋·4＝2n2－n。
(2)证明：当c＝－时，bn＝＝＝2n，
因为bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2，
所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列。
考点三 等差数列的性质及应用
【例3】 (1)在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S672＝2，S1 344＝12，则S2 016＝( )
A．22 B．26
C．30 D．34
解析 (1)由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20。
(2)由等差数列的性质知，S672，S1 344－S672，S2 016－S1 344成等差数列，则2(S1 344－S672)＝S672＋S2 016－S1 344，即2×(12－2)＝2＋S2 016－12，解得S2 016＝30。
答案 (1)B (2)C
1．利用等差数列的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq”，或者“常用结论”中的有关公式可以有效地简化计算。
2．在等差数列中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列，本例(2)应用了这一个性质。
【变式训练】 (1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝45，S3＝－3，那么a5＝( )
A．4 B．5
C．9 D．18
(2)两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________。
(3)一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为21，则前2n项的和为( )
A．18 B．12
C．10 D．6
解析 (1)由题意可得a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝45，S3＝3a2＝－3，则a7＝9，a2＝－1，则数列的公差d＝＝2，故a5＝a2＋3d＝5。
(2)因为数列{an}和{bn}均为等差数列，所以＝＝＝＝＝。
(3)因为{an}是等差数列，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，即2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，因为Sn＝3，S3n＝21，所以2(S2n－3)＝3＋21－S2n，解得S2n＝10。故选C。
答案 (1)B (2) (3)C
考点四 等差数列的最值问题微点小专题
方向1：等差数列前n项和的最值
【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15。
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值。
解 (1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15。
由a1＝－7得d＝2。
所以{an}的通项公式为an＝2n－9。
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16。
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16。
求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数到的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值。
方向2：等差数列项的最值
【例5】 (2019·安徽淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和，S2 018
C．4 033 D．4 034
解析 因为S2 0180。所以S4 034＝＝2 017(a2 018＋a2 017)<0，S4 035＝＝4 035a2 018>0，可知Sn<0时n的最大值是4 034。故选D。
答案 D
本题借助等差数列的性质求出Sn<0中n的取值范围，从而求出n的最大值，这种题型要与Sn的最值区别开来。
【题点对应练】
1．(方向1)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析 由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值。故选C。
答案 C
2．(方向2)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________。
解析 设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36，所以a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得或当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值；当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值。综上，anan＋1的最小值为－12。
答案 －12
1．(配合例2使用)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝。
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式。
解 (1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列。
(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝(n∈N*)。
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－。
当n＝1时，a1＝不适合上式。
故an＝
2．(配合例3使用)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________。
解析 因为{an}，{bn}为等差数列，所以＋＝＋＝＝。故＝＝＝＝＝。
答案
3．(配合例4使用)(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________。
解析 (1)解法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0。根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大。
解法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n(n∈N*)。根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大。
(2)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5。所以n≤5时，an≤0；当n>5时，an>0。所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130。
答案 (1)C (2)130
4．(配合例5使用)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0,6Sn＝a＋3an(n∈N*)，bn＝，若∀n∈N*，k>Tn恒成立，则k的最小值是( )
A． B．
C．49 D．
解析 已知6Sn＝a＋3an(n∈N*)，6Sn－1＝a＋3an－1(n∈N*)，两式作差得6an＝a－a＋3an－3an－1，即a－a－3an－3an－1＝0，即(an－an－1－3)(an＋an－1)＝0，由an>0可得an－an－1＝3，故数列{an}是等差数列，且6a1＝a＋3a1，解得a1＝3，由等差数列的通项公式得到an＝3n(n∈N*)，故bn＝＝(n∈N*)，裂项求和可得Tn＝＝－·(n∈N*)，由条件k>Tn恒成立，因为Tn<，所以k≥，即k的最小值为。
答案 B
2019考纲考题考情
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)。
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝。
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。
(2)等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝。
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)。
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an。(等和性)
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d。
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列。
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列。
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列。
(7)S2n－1＝(2n－1)an。
(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)。
1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
2．等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。
3．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d。若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列。
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0。
一、走进教材
1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3,2，7，…，则该数列的第100项为________。
解析 依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487。
答案 487
2．(必修5P46A组T5改编)已知等差数列5,4，3，…，则前n项和Sn＝________。
解析 由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)。
答案 (75n－5n2)
二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和。若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得故选C。
解析：由等差数列的性质得S6＝3(a3＋a4)＝48⇒a3＋a4＝16 ①，又a4＋a5＝24 ②，②－①得2d＝8，所以d＝4。故选C。
答案 C
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和。若S8＝4S4，则a10＝( )
A． B．
C．10 D．12
解析 由S8＝4S4，得8a1＋×1＝4，解得a1＝，所以a10＝＋(10－1)×1＝。
答案 B
三、走出误区
微提醒：①错用公式致误；②求前n项和最值的方法不当致误；③错用性质致误。
5．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )
A．100 B．99
C．98 D．97
解析 设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98。
答案 C
6．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________。
解析 由题意知d<0且即解得－1
7．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________。
解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180。
答案 180
考点一 等差数列的基本运算
【例1】 (1)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________。
(2)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱( )
A． B． C． D．
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，所以d＝6，所以an＝3＋(n－1)·6＝6n－3。
(2)甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得钱。故选C。
答案 (1)an＝6n－3 (2)C
等差数列运算问题的通性通法
1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。
2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。
【变式训练】 (1)(2019·沈阳市质量监测)在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是( )
A．55 B．11
C．50 D．60
(2)已知等差数列{an}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为( )
A． B．
C．1 D．
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55。故选A。
解析：设等差数列{an}的公差为d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55。故选A。
(2)设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得所以中间一项为a5＝a1＋4d＝＋4×＝。故选D。
答案 (1)A (2)D
考点二 等差数列的判定与证明
【例2】 已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)。
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求{an}的通项公式。
解 (1)证明：因为an＋1＋1＝＋1＝，所以＝＝3＋，所以－＝3，所以是首项为＝3，公差为3的等差数列。
(2)由(1)得＝3n，所以an＝－1。
判断数列{an}是否为等差数列，通常有两种方法：①定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)，用定义法证明等差数列时，常选用两个式子an＋1－an＝d或an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”；②等差中项法，证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)。
【变式训练】 (2019·齐齐哈尔八中月考)已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1
(2)在(1)中，设bn＝，求证：当c＝－时，数列{bn}是等差数列。
解 (1)因为a1，a2(a1
所以等差数列{an}的公差为4，
所以Sn＝n·1＋·4＝2n2－n。
(2)证明：当c＝－时，bn＝＝＝2n，
因为bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2，
所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列。
考点三 等差数列的性质及应用
【例3】 (1)在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S672＝2，S1 344＝12，则S2 016＝( )
A．22 B．26
C．30 D．34
解析 (1)由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20。
(2)由等差数列的性质知，S672，S1 344－S672，S2 016－S1 344成等差数列，则2(S1 344－S672)＝S672＋S2 016－S1 344，即2×(12－2)＝2＋S2 016－12，解得S2 016＝30。
答案 (1)B (2)C
1．利用等差数列的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq”，或者“常用结论”中的有关公式可以有效地简化计算。
2．在等差数列中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列，本例(2)应用了这一个性质。
【变式训练】 (1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝45，S3＝－3，那么a5＝( )
A．4 B．5
C．9 D．18
(2)两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________。
(3)一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为21，则前2n项的和为( )
A．18 B．12
C．10 D．6
解析 (1)由题意可得a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝45，S3＝3a2＝－3，则a7＝9，a2＝－1，则数列的公差d＝＝2，故a5＝a2＋3d＝5。
(2)因为数列{an}和{bn}均为等差数列，所以＝＝＝＝＝。
(3)因为{an}是等差数列，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，即2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，因为Sn＝3，S3n＝21，所以2(S2n－3)＝3＋21－S2n，解得S2n＝10。故选C。
答案 (1)B (2) (3)C
考点四 等差数列的最值问题微点小专题
方向1：等差数列前n项和的最值
【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15。
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值。
解 (1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15。
由a1＝－7得d＝2。
所以{an}的通项公式为an＝2n－9。
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16。
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16。
求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数到的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值。
方向2：等差数列项的最值
【例5】 (2019·安徽淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和，S2 018
C．4 033 D．4 034
解析 因为S2 018
答案 D
本题借助等差数列的性质求出Sn<0中n的取值范围，从而求出n的最大值，这种题型要与Sn的最值区别开来。
【题点对应练】
1．(方向1)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析 由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值。故选C。
答案 C
2．(方向2)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________。
解析 设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36，所以a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得或当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值；当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值。综上，anan＋1的最小值为－12。
答案 －12
1．(配合例2使用)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝。
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式。
解 (1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列。
(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝(n∈N*)。
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－。
当n＝1时，a1＝不适合上式。
故an＝
2．(配合例3使用)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________。
解析 因为{an}，{bn}为等差数列，所以＋＝＋＝＝。故＝＝＝＝＝。
答案
3．(配合例4使用)(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________。
解析 (1)解法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0。根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大。
解法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n(n∈N*)。根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大。
(2)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5。所以n≤5时，an≤0；当n>5时，an>0。所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130。
答案 (1)C (2)130
4．(配合例5使用)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0,6Sn＝a＋3an(n∈N*)，bn＝，若∀n∈N*，k>Tn恒成立，则k的最小值是( )
A． B．
C．49 D．
解析 已知6Sn＝a＋3an(n∈N*)，6Sn－1＝a＋3an－1(n∈N*)，两式作差得6an＝a－a＋3an－3an－1，即a－a－3an－3an－1＝0，即(an－an－1－3)(an＋an－1)＝0，由an>0可得an－an－1＝3，故数列{an}是等差数列，且6a1＝a＋3a1，解得a1＝3，由等差数列的通项公式得到an＝3n(n∈N*)，故bn＝＝(n∈N*)，裂项求和可得Tn＝＝－·(n∈N*)，由条件k>Tn恒成立，因为Tn<，所以k≥，即k的最小值为。
答案 B
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