2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第六章第四节　基本不等式 学案

第四节　基本不等式

2019考纲考题考情

1．重要不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)。

2．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0。

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立。

(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数。

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2。(简记：“积定和最小”)

(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值。(简记：“和定积最大”)

4．常用的几个重要不等式

(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)。

(2)ab≤2(a，b∈R)。

(3)2≤(a，b∈R)。

(4)＋≥2(a，b同号)。

以上不等式等号成立的条件均为a＝b。

1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。忽略某个条件，就会出错。

2．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系。

3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。

一、走进教材

1．(必修5P99例1(2)改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80　 　 　 B．77  C．81　 　 　 D．82

解析　因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81。

答案　C

2．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2。

解析　设矩形的一边为x m，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25。

答案　25

二、走近高考

3．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________。

解析　由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立。

答案　

4．(2017·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________。

解析　由条件可得＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝2a时取等号，所以最小值为8。

答案　8

三、走出误区

微提醒：①基本不等式不会变形使用；②用错不等式的性质以及基本不等式变形错误。

5．若x<0，则x＋(　　)

A．有最小值，且最小值为2

B．有最大值，且最大值为2

C．有最小值，且最小值为－2

D．有最大值，且最大值为－2

解析　因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2。故选D。

答案　D

6．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．≤   B．＋≤1

C．≥2   D．a2＋b2≥8

解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立。故选D。

答案　D

考点一  配凑法求最值

【例1】　(1)(2019·泉州检测)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)

A．   B．

C．   D．

(2)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)

A．1＋   B．1＋

C．3   D．4

解析　(1)因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝。当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立。

(2)因为x>2，所以x－2>0，所以f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3。又因为x>2，所以x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值，故选C。

答案　(1)B　(2)C

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提。

【变式训练】　(1)若a>0，则a＋的最小值为________。

(2)已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是________。

解析　(1)由题意可知a＋＝a＋＋－≥2－＝，当且仅当a＋＝，即a＝时等号成立。所以a＋的最小值为。

(2)因为x>0，y>0，所以xy＝·x·3y≤2＝，当且仅当x＝3y＝时， 等号成立，故xy的最大值是。

答案　(1)　(2)

考点二  常数代换法求最值

【例2】　若直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，则＋的最小值为(　　)

A．2   B．6

C．12   D．3＋2

解析　因为直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当“＝，即n＝m”时取等号，所以＋的最小值为3＋2。故选D。

答案　D

常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值。

【变式训练】　(2019·大庆质检)若θ∈，则y＝＋

的取值范围为(　　)

A．[6，＋∞)   B．[10，＋∞)

C．[12，＋∞)   D．[16，＋∞)

解析　因为θ∈，所以sin2θ，cos2θ∈(0,1)，所以y＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当＝，即θ＝时等号成立，所以y＝＋的取值范围为[16，＋∞)。故选D。

答案　D

考点三  消元法求最值

【例3】　若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝。由即解得0<x<1。所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号。故x＋2y的最小值为。

答案　A

通过消元法求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解。有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解。但应注意保留元的范围。

【变式训练】　若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　)

A．2   B．3

C．4   D．6

解析　由题意可得b＋c＝2－a>0，所以0<a<2。＋＝＋＝＝＝

＝，因为＝≥3×＝3，当且仅当a＝1时等号成立，所以＋的最小值是3。

答案　B

考点四  基本不等式的实际应用

【例4】　某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)

A．60件   B．80件

C．100件   D．120件

解析　若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号。故选B。

答案　B

对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本(均值)不等式求最值。

【变式训练】　某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元。

解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元。

答案　8

1．(配合例1使用)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N*)，若a1＝d＝1，则的最小值是________。

解析　an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，所以＝＝≥＝，当且仅当n＝4时取等号。所以的最小值是。

答案　

2．(配合例2使用)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)

A．9　　　　B．8  C．4　　　　D．2

解析　圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)。因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1。因此＋＝(b＋c)＝＋＋5，因为b，c>0，所以＋≥2 ＝4，当且仅当＝＝2时等号成立。由此可得当b＝2c，即b＝且c＝时，＋＝＋＋5的最小值为9。

答案　A

3．(配合例3使用)已知函数f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，则的最小值等于________。

解析　由函数f(x)＝|lgx|，a>b>0，f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lga＝－lgb，b＝，a－b＝a－>0，则＝＝a－＋≥2

。

答案　2

利用均值定理连续放缩求最值

【典例】　已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________。

【思路点拨】　先将代数式中第2项的分母利用基本不等式进行变换，再根据结构特征利用基本不等式可求得结果。

【解析】　因为a>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤2＝，所以a2＋≥a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝且b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4。

【答案】　4

利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法。

【变式训练】　设a>b>0，则a2＋＋的最小值是

(　　)

A．1　　　　B．2  C．3　　　　D．4

解析　因为a>b>0，所以a－b>0，所以a2＋＋＝(a2－ab)＋＋＋ab≥2＋2＝

4。故选D。

答案　D