2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第六章第六节 直接证明与间接证明 学案
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第六节 直接证明与间接证明
2019考纲考题考情
1．直接证明
2.间接证明
反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
1．分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用。
2．利用反证法证明的特点，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的。
一、走进教材
1．(选修1－2P42练习T1改编)对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝( )
A．2sinθ B．2cosθ C．sin2θ D．cos2θ
解析 因为cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ。故选D。
答案 D
2．(选修1－2P42练习T2改编)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．不能确定
解析 假设P>Q，只需P2>Q2，即2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40。因为42>40成立，所以P>Q成立。故选A。
答案 A
二、走出误区
微提醒：①“至少”否定出错；②应用分析法寻找的条件不充分；③不会用反证法解题。
3．利用反证法证明“已知a>0，b>0，且a＋b>2，证明，中至少有一个小于2”时的反设是________。
解析 假设，都不小于2，则≥2且≥2。
答案 ≥2且≥2
4．若用分析法证明“设a>b>c且a＋b＋c＝0，求证<a”，则索的因是________(填序号)。
①a－b>0；②a－c>0；③(a－b)(a－c)>0；④(a－b)(a－c)<0。
解析 由a>b>c且a＋b＋c＝0，可得b＝－a－c，a>0，c<0，要证<a，只需证(－a－c)2－ac<3a2，即证a2－ac＋a2－c2>0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0。
答案 ③
5．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析 因为＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以三个数中至少有一个不小于2。故选D。
答案 D
考点一 分析法
【例1】 已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab。
证明 因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证alnb>blna，只需证>。
取函数f(x)＝，因为f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减。
所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，
即>。得证。
分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。
【变式训练】 已知a>0，求证： －≥a＋－2。
证明 要证 －≥a＋－2，
只要证 ＋2≥a＋＋。
因为a>0，故只要证2≥2，即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只要证2 ≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立。
考点二 综合法
【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1。
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝，求证：5a＝3b。
证明 (1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，
因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列。
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b。
综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。
【变式训练】 已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线。
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤g(x)。
解 (1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得解得a＝0，b＝1。
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)。
h′(x)＝－x2＋x－1＝。
h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数。
h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，
即f(x)≤g(x)。
考点三 反证法
【例3】 设a>0，b>0，且a2＋b2＝＋。证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立。
证明 假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则有a2＋a＋b2＋b<4。
由a2＋b2＝＋，得a2b2＝1，
因为a>0，b>0，所以ab＝1。
因为a2＋b2≥2ab＝2(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，
a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，
所以a2＋a＋b2＋b≥2ab＋2＝4(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，
这与假设矛盾，故假设错误。
所以a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立。
反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不成立，原结论成立，从而间接地证明原命题为真。
【变式训练】 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd>1。求证：a，b，c，d中至少有一个是负数。
证明 假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，
即ac＋bd＋ad＋bc＝1，又ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，与题设矛盾，故假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个是负数。
