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2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章第三节 圆的方程 学案
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第三节 圆 的 方 程
2019考纲考题考情
1．圆的定义
(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。
(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。
2．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
3．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0，其中圆心为，半径r＝。
4．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种。
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2。
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2。
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。
1．圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2。
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0。
3．二元二次方程表示圆的条件
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件。
一、走进教材
1．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。故选D。
答案 D
2．(必修2P120例3改编)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a。因为|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。所以a＝1，b＝1。所以r＝2。所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。故选C。
解析：因为A(1，－1)，B(－1,1)，所以AB的中垂线方程为y＝x。由得所以圆心坐标为(1,1)，r＝＝2。则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。
答案 C
二、走近高考
3．(2016·全国卷Ⅰ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－
C． D．2
解析 由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d＝＝1，解得a＝－。故选A。
答案 A
4．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________。
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，即圆的方程为x2＋y2－2x＝0。
解析：记A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，连接AB，由圆过点A(0,0)，B(2,0)，知AB的垂直平分线x＝1必过圆心。连接BC，又圆过点C(1,1)，BC的中点为，BC所在直线的斜率kBC＝－1，所以BC的垂直平分线为直线y＝x－1，联立，得得圆心的坐标为(1,0)，半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0。
答案 x2＋y2－2x＝0
三、走出误区
微提醒：①忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；②错用点与圆的位置关系判定；③忽视圆的方程中变量的取值范围。
5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y－1)2＝－2。由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2。
答案 B
6．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＜－1 D．a＝±4
解析 因为点(1,1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1。故选A。
答案 A
7．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的最大值为________。
解析 由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤x≤4，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64(0≤x≤4)，所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48。
答案 48
考点一 圆的方程
【例1】 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________。
(2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________。
解析 (1)由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3①。过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0②，联立①②，解得所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2。
解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因为点A(4,1)，B(2,1)在圆上，故又因为＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2。
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③。设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36④，联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0。故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0。
答案 (1)(x－3)2＋y2＝2 (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程。一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量。确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解。
【变式训练】 (1)(2019·珠海联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4
B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8
D．x2＋(y－1)2＝16
解析 (1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有＝即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选B。
(2)直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图。所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0,1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2。故选B。
答案 (1)B (2)B
考点二 与圆有关的轨迹问题
【例2】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程。
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)。
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4。
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)。
(2)设PQ的中点为N(x，y)。
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|。
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4。
整理得x2＋y2－x－y－1＝0，
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0。
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同，常采用以下方法：
1．直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。
2．定义法：根据圆、直线等定义列方程。
3．几何法：利用圆的几何性质列方程。
4．代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等。
【变式训练】 自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图。因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D。
答案 D
考点三 与圆有关的最值问题微点小专题
方向1：借助几何性质求最值
【例3】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则(1)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为__________和__________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为__________和__________。
解析 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆。
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx。当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±。所以的最大值为，最小值为－。
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距。如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－。
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方。由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4。
答案 (1) － (2)－2＋ －2－
(3)7＋4 7－4
借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解。
1．形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题。
2．形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题。
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。
方向2：建立函数关系求最值
【例4】 (2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________。
解析 由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y), 所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12。由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12。
答案 12
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值。
【题点对应练】
1．(方向1)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为( )
A．6 B．
C．8 D．
解析 x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆。如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝。
答案 B
2．(方向2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝的最大值与最小值分别为________和________。
解析 由题意，得表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点P(x，y)的直线的斜率。当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则＝1，解得k＝，所以zmax＝，zmin＝。
答案
3．(方向2)设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________。
解析 由题意，知＝(－x,2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2。由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10。
答案 10
四点共圆问题的求解策略
四点共圆问题本属于平面几何内容，是数学竞赛中的高频考点，近年来，圆锥曲线中的四点共圆问题也频频出现在高考试题中。
【典例】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|。
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程。
【解】 (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝，又P(0，4)，所以|PQ|＝。又|QF|＝＋x0＝＋，且|QF|＝|PQ|，所以＋＝·，解得p＝2(p＝－2舍去)，所以，抛物线C的方程为y2＝4x。
(2)因为A，M，B，N四点在同一圆上，弦AB的垂直平分线必过圆心，又MN垂直平分AB，所以MN是圆的直径，则MN的中点E就是这个圆的圆心，所以|AE|＝|BE|＝|MN|。
依题意可知，直线l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1。
由得y2－4my－4＝0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4。
故线段AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)。
又l′与l垂直，故可得直线l′的方程为x＝－y＋2m2＋3，与y2＝4x联立可得：
y2＋y－4(2m2＋3)＝0。
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－8m2－12。
故线段MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|
＝。
在直角△ADE中，由勾股定理得
|AD|2＋|DE|2＝|AE|2，
所以|AB|2＋4|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋2＋2
＝，
化简得m2－1＝0，
解得m＝±1。
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0。
本题中，MN的中点E就是A，M，B，N四点所在圆的圆心，故可将四点共圆的条件转化为圆心E到四点的距离相等，从而得到|AE|＝|BE|＝|MN|，进而把问题转化为先求线段AB的中点D、线段MN的中点E的坐标以及|AB|和|MN|，这是解析几何中的常规问题，通常是联立方程组后结合韦达定理来处理，但计算量较大。
2019考纲考题考情
1．圆的定义
(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。
(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。
2．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
3．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0，其中圆心为，半径r＝。
4．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种。
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2。
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2。
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。
1．圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2。
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0。
3．二元二次方程表示圆的条件
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件。
一、走进教材
1．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。故选D。
答案 D
2．(必修2P120例3改编)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a。因为|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。所以a＝1，b＝1。所以r＝2。所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。故选C。
解析：因为A(1，－1)，B(－1,1)，所以AB的中垂线方程为y＝x。由得所以圆心坐标为(1,1)，r＝＝2。则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。
答案 C
二、走近高考
3．(2016·全国卷Ⅰ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－
C． D．2
解析 由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d＝＝1，解得a＝－。故选A。
答案 A
4．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________。
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，即圆的方程为x2＋y2－2x＝0。
解析：记A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，连接AB，由圆过点A(0,0)，B(2,0)，知AB的垂直平分线x＝1必过圆心。连接BC，又圆过点C(1,1)，BC的中点为，BC所在直线的斜率kBC＝－1，所以BC的垂直平分线为直线y＝x－1，联立，得得圆心的坐标为(1,0)，半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0。
答案 x2＋y2－2x＝0
三、走出误区
微提醒：①忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；②错用点与圆的位置关系判定；③忽视圆的方程中变量的取值范围。
5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y－1)2＝－2。由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2。
答案 B
6．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＜－1 D．a＝±4
解析 因为点(1,1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1。故选A。
答案 A
7．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的最大值为________。
解析 由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤x≤4，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64(0≤x≤4)，所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48。
答案 48
考点一 圆的方程
【例1】 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________。
(2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________。
解析 (1)由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3①。过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0②，联立①②，解得所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2。
解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因为点A(4,1)，B(2,1)在圆上，故又因为＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2。
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③。设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36④，联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0。故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0。
答案 (1)(x－3)2＋y2＝2 (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程。一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量。确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解。
【变式训练】 (1)(2019·珠海联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4
B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8
D．x2＋(y－1)2＝16
解析 (1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有＝即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选B。
(2)直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图。所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0,1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2。故选B。
答案 (1)B (2)B
考点二 与圆有关的轨迹问题
【例2】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程。
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)。
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4。
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)。
(2)设PQ的中点为N(x，y)。
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|。
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4。
整理得x2＋y2－x－y－1＝0，
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0。
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同，常采用以下方法：
1．直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。
2．定义法：根据圆、直线等定义列方程。
3．几何法：利用圆的几何性质列方程。
4．代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等。
【变式训练】 自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图。因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D。
答案 D
考点三 与圆有关的最值问题微点小专题
方向1：借助几何性质求最值
【例3】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则(1)的最大值和最小值分别为________和________；
(2)y－x的最大值和最小值分别为__________和__________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为__________和__________。
解析 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆。
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx。当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±。所以的最大值为，最小值为－。
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距。如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－。
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方。由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4。
答案 (1) － (2)－2＋ －2－
(3)7＋4 7－4
借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解。
1．形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题。
2．形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题。
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。
方向2：建立函数关系求最值
【例4】 (2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________。
解析 由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y), 所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12。由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12。
答案 12
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值。
【题点对应练】
1．(方向1)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为( )
A．6 B．
C．8 D．
解析 x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆。如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝。
答案 B
2．(方向2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝的最大值与最小值分别为________和________。
解析 由题意，得表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点P(x，y)的直线的斜率。当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值。设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则＝1，解得k＝，所以zmax＝，zmin＝。
答案
3．(方向2)设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________。
解析 由题意，知＝(－x,2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2。由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10。
答案 10
四点共圆问题的求解策略
四点共圆问题本属于平面几何内容，是数学竞赛中的高频考点，近年来，圆锥曲线中的四点共圆问题也频频出现在高考试题中。
【典例】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|。
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程。
【解】 (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝，又P(0，4)，所以|PQ|＝。又|QF|＝＋x0＝＋，且|QF|＝|PQ|，所以＋＝·，解得p＝2(p＝－2舍去)，所以，抛物线C的方程为y2＝4x。
(2)因为A，M，B，N四点在同一圆上，弦AB的垂直平分线必过圆心，又MN垂直平分AB，所以MN是圆的直径，则MN的中点E就是这个圆的圆心，所以|AE|＝|BE|＝|MN|。
依题意可知，直线l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1。
由得y2－4my－4＝0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4。
故线段AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)。
又l′与l垂直，故可得直线l′的方程为x＝－y＋2m2＋3，与y2＝4x联立可得：
y2＋y－4(2m2＋3)＝0。
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－8m2－12。
故线段MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|
＝。
在直角△ADE中，由勾股定理得
|AD|2＋|DE|2＝|AE|2，
所以|AB|2＋4|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋2＋2
＝，
化简得m2－1＝0，
解得m＝±1。
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0。
本题中，MN的中点E就是A，M，B，N四点所在圆的圆心，故可将四点共圆的条件转化为圆心E到四点的距离相等，从而得到|AE|＝|BE|＝|MN|，进而把问题转化为先求线段AB的中点D、线段MN的中点E的坐标以及|AB|和|MN|，这是解析几何中的常规问题，通常是联立方程组后结合韦达定理来处理，但计算量较大。
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