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    2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义:第二章第六节指数与指数函数

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    2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义:第二章第六节指数与指数函数

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    第六节指数与指数函数1根式的性质(1)()na(a使有意义)(2)n是奇数时,a;当n是偶数时,|a|2分数指数幂的意义(1)a(a0mnN*,且n1)(2)a(a0mnN*,且n1)(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3有理数指数幂的运算性质(1)ar·asars(a0rsQ)(2)(ar)sars(a0rsQ)(3)(ab)rarbr(a0b0rQ)4指数函数的图象和性质函数yax(a0,且a1)图象a10a1性质定义域R值域(0,+)单调性单调递增单调递减函数值变化规律x0时,y1x0时,0y1x0时,y1x0时,y1x0时,0y1化简时,一定要注意区分n是奇数还是偶数.1图象问题(1)画指数函数yax(a0a1)的图象,应抓住三个关键点(0,1)(1a).(2)yaxyx的图象关于y轴对称.(3)a1时,指数函数的图象呈上升趋势,当0a1时,指数函数的图象呈下降趋势;简记:撇增捺减.2函数性质的注意点讨论指数函数的性质时,要注意分底数a10a1两种情况.[熟记常用结论]指数函数的图象与底数大小的比较:如图是指数函数(1)yax(2)ybx(3)ycx(4)ydx的图象,底数abcd1之间的大小关系为cd1ab.规律:在y轴右()侧图象越高(),其底数越大.[小题查验基础]一、判断题(对的打,错的打“×”)(1)=-4.(  )(2)函数y2x1是指数函数.(  )(3)函数ya(a1)的值域是(0,+)(  )(4)aman(a0a1),则mn.(  )答案:(1)× (2)× (3)× (4)×二、选填题1.计算[(2)6](1)0的结果为(  )A.-9          B7C.-10  D9解析:B 原式=212317.故选B.2.函数f(x)3x1的值域为(  )A(1,+)  B(1,+)C(0,1)  D[1,+)解析:B 3x03x11即函数f(x)3x1的值域为(1,+)3.化简的结果是________解析:由题意知,x0=-.答案:4.当a0a1时,函数f(x)ax23的图象必过定点________解析:x20,则x2此时f(x)13=-2故函数f(x)ax23的图象必过定点(2,-2)答案:(2,-2)5.若指数函数f(x)(a2)x为减函数,则实数a的取值范围为________解析:f(x)(a2)x为减函数,0a21,即2a3.答案:(2,3)[题组练透]化简下列各式:(1)022×(0.01)0.5(2)a·b2·(3ab1)÷(4a·b3)(3).(1)原式1×1×1.(2)原式=-ab3÷(4a·b3)=-ab3÷(ab)=-a·b=-·=-.(3)原式a·b.[名师微点]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.[典例精析](1)函数yaxa1(a0,且a1)的图象可能是(  )(2)若函数y|2x1|的图象与直线yb有两个公共点,则b的取值范围为__________[解析] (1)函数yax是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到的,A项显然错误;当a1时,01,平移距离小于1,所以B项错误;当0a1时,1,平移距离大于1,所以C项错误.故选D.(2)作出曲线y|2x1|的图象与直线yb如图所示.由图象可得b的取值范围是(0,1)[答案] (1)D (2)(0,1)1(变条件)将本例(2)改为若函数y|2x1|(k]上单调递减,则k的取值范围为________解析:因为函数y|2x1|的单调递减区间为(0],所以k0,即k的取值范围为(0]答案:(0]2(变条件)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点,则b的取值范围是________解析:作出曲线|y|2x1的图象,如图所示,要使该曲线与直线yb没有公共点,只需-1b1.答案:[1,1]3(变条件)将本例(2)改为直线y2a与函数y|ax1|(a0a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围为__________解析:y|ax1|的图象是由yax的图象先向下平移1个单位,再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.a1时,如图1,两图象只有一个交点,不合题意;0a1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则02a1,得到0a.综上可知,a的取值范围是.答案:[解题技法]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x1与图象的交点进行判断.[过关训练]1.函数f(x)1e|x|的图象大致是(  )解析:A 由f(x)1e|x|是偶函数,其图象关于y轴对称,排除BD.e|x|1,所以f(x)的值域为(0],排除C.2.已知f(x)|2x1|,当abc时,有f(a)f(c)f(b),则必有(  )Aa0b0c0     Ba0b0c0C2a2c  D12a2c2解析:D 作出函数f(x)|2x1|的图象如图所示,因为abc,且有f(a)f(c)f(b),所以必有a0,0c1,且|2a1||2c1|,所以12a2c1,则2a2c2,且2a2c1.故选D.[考法全析]考法() 比较指数式的大小[1] 已知f(x)2x2xabclog2,则f(a)f(b)f(c)的大小关系为(  )Af(b)f(a)f(c)   Bf(c)f(b)f(a)Cf(c)f(a)f(b)  Df(b)f(c)f(a)[解析] 易知f(x)2x2xR上为增函数,又ab0clog20,则abc,所以f(c)f(b)f(a)[答案] B考法() 解简单的指数方程或不等式[2] (1)已知实数a1,函数f(x)f(1a)f(a1),则a的值为________(2)设函数f(x)f(a)1,则实数a的取值范围是________[解析] (1)a1时,41a21,解得a;当a1时,代入不成立.故a的值为.(2)a0,则f(a)1a71a8,解得a>-3,故-3a0a0,则f(a)11,解得a1,故0a1.综合可得-3a1.[答案] (1) (2)(3,1)考法() 指数函数性质的综合应用[3] 已知函数f(x).(1)a=-1,求f(x)的单调区间;(2)f(x)有最大值3,求a的值;(3)f(x)的值域是(0,+),求a的值.[] (1)a=-1时,f(x),令g(x)=-x24x3,由于g(x)(,-2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,而ytR上单调递减,所以f(x)(,-2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(2,+),单调递减区间是(,-2)(2)g(x)ax24x3,则f(x)g(x)由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1因此必有解得a1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+)应使yax24x3的值域为R因此只能a0(因为若a0,则yax24x3为二次函数,其值域不可能为R)a的值为0.[规律探求]看个性考法()是利用指数函数的性质比较幂值的大小,其方法是:先看能否化成同底数,能化成同底数的先化成同底数幂,再利用函数单调性比较大小,不能化成同底数的,一般引入1等中间量比较大小;考法()是利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式,其方法是:先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解;考法()是指数函数性质的综合应用,其方法是:首先判断指数型函数的性质,再利用其性质求解找共性以上问题都是指数型函数问题,关键应判断其单调性,对于形如yaf(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a1,函数f(x)的单调增()区间即函数yaf(x)的单调增()区间;若0a1,函数f(x)的单调增()区间即函数yaf(x)的单调减()区间 [过关训练]1.设a0.60.6b0.61.5c1.50.6,则abc的大小关系是(  )Aabc  BacbCbac  Dbca解析:C 因为函数y0.6xR上单调递减,所以b0.61.5a0.60.61.c1.50.61,所以bac.2(2019·福州模拟)设函数f(x)则满足f(x22)f(x)x的取值范围是________________________________________________________________________解析:由题意x0时,f(x)单调递增,故f(x)f(0)0,而x0时,x0故若f(x22)f(x),则x22x,且x220解得x2x<-.答案:(,-)(2,+)

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