所属成套资源:(人教版)2020高考理科数学一轮复习讲义
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义:第二章第六节指数与指数函数
展开第六节指数与指数函数1.根式的性质(1)()n=a(a使有意义).(2)当n是奇数时,=a;当n是偶数时,=|a|=❶2.分数指数幂的意义(1)a=(a>0,m,n∈N*,且n>1).(2)a==(a>0,m,n∈N*,且n>1).(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.有理数指数幂的运算性质(1)ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).4.指数函数的图象和性质❷函数y=ax(a>0,且a≠1)图象a>10<a<1性质定义域R值域(0,+∞)单调性单调递增单调递减函数值变化规律当x=0时,y=1当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1化简时,一定要注意区分n是奇数还是偶数.1.图象问题(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(0,1),(1,a),.(2)y=ax与y=x的图象关于y轴对称.(3)当a>1时,指数函数的图象呈上升趋势,当0<a<1时,指数函数的图象呈下降趋势;简记:撇增捺减.2.函数性质的注意点讨论指数函数的性质时,要注意分底数a>1和0<a<1两种情况.[熟记常用结论]指数函数的图象与底数大小的比较:如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)=-4.( )(2)函数y=2x-1是指数函数.( )(3)函数y=a(a>1)的值域是(0,+∞).( )(4)若am>an(a>0,a≠1),则m>n.( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)×二、选填题1.计算[(-2)6]-(-1)0的结果为( )A.-9 B.7C.-10 D.9解析:选B 原式=2-1=23-1=7.故选B.2.函数f(x)=3x+1的值域为( )A.(-1,+∞) B.(1,+∞)C.(0,1) D.[1,+∞)解析:选B ∵3x>0,∴3x+1>1,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+∞).3.化简的结果是________.解析:由题意知,x<0,∴===-.答案:-4.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点________.解析:令x-2=0,则x=2,此时f(x)=1-3=-2,故函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点(2,-2).答案:(2,-2)5.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为________.解析:∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0<a-2<1,即2<a<3.答案:(2,3)[题组练透]化简下列各式:(1)0+2-2×-(0.01)0.5;(2)a·b-2·(-3ab-1)÷(4a·b-3);(3).解:(1)原式=1+×-=1+×-=1+-=.(2)原式=-ab-3÷(4a·b-3)=-ab-3÷(ab)=-a·b=-·=-.(3)原式==a·b=.[名师微点]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.[典例精析](1)函数y=ax-a-1(a>0,且a≠1)的图象可能是( )(2)若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围为__________.[解析] (1)函数y=ax-是由函数y=ax的图象向下平移个单位长度得到的,A项显然错误;当a>1时,0<<1,平移距离小于1,所以B项错误;当0<a<1时,>1,平移距离大于1,所以C项错误.故选D.(2)作出曲线y=|2x-1|的图象与直线y=b如图所示.由图象可得b的取值范围是(0,1).[答案] (1)D (2)(0,1)1.(变条件)将本例(2)改为若函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围为________.解析:因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为(-∞,0].答案:(-∞,0]2.(变条件)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.解析:作出曲线|y|=2x+1的图象,如图所示,要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1≤b≤1.答案:[-1,1]3.(变条件)将本例(2)改为直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围为__________.解析:y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位,再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不合题意;当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,得到0<a<.综上可知,a的取值范围是.答案:[解题技法]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.[过关训练]1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )解析:选A 由f(x)=1-e|x|是偶函数,其图象关于y轴对称,排除B、D.又e|x|≥1,所以f(x)的值域为(-∞,0],排除C.2.已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有( )A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2c D.1<2a+2c<2解析:选D 作出函数f(x)=|2x-1|的图象如图所示,因为a<b<c,且有f(a)>f(c)>f(b),所以必有a<0,0<c<1,且|2a-1|>|2c-1|,所以1-2a>2c-1,则2a+2c<2,且2a+2c>1.故选D.[考法全析]考法(一) 比较指数式的大小[例1] 已知f(x)=2x-2-x,a=,b=,c=log2,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( )A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(c)<f(a)[解析] 易知f(x)=2x-2-x在R上为增函数,又a==>=b>0,c=log2<0,则a>b>c,所以f(c)<f(b)<f(a).[答案] B考法(二) 解简单的指数方程或不等式[例2] (1)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为________.(2)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是________.[解析] (1)当a<1时,41-a=21,解得a=;当a>1时,代入不成立.故a的值为.(2)若a<0,则f(a)<1⇔a-7<1⇔a<8,解得a>-3,故-3<a<0;若a≥0,则f(a)<1⇔<1,解得a<1,故0≤a<1.综合可得-3<a<1.[答案] (1) (2)(-3,1)考法(三) 指数函数性质的综合应用[例3] 已知函数f(x)=.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.[解] (1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=t在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=g(x),由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0.[规律探求]看个性考法(一)是利用指数函数的性质比较幂值的大小,其方法是:先看能否化成同底数,能化成同底数的先化成同底数幂,再利用函数单调性比较大小,不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小;考法(二)是利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式,其方法是:先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解;考法(三)是指数函数性质的综合应用,其方法是:首先判断指数型函数的性质,再利用其性质求解找共性以上问题都是指数型函数问题,关键应判断其单调性,对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a>1,函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间;若0<a<1,函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调减(增)区间 [过关训练]1.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a解析:选C 因为函数y=0.6x在R上单调递减,所以b=0.61.5<a=0.60.6<1.又c=1.50.6>1,所以b<a<c.2.(2019·福州模拟)设函数f(x)=则满足f(x2-2)>f(x)的x的取值范围是________________________________________________________________________.解析:由题意x>0时,f(x)单调递增,故f(x)>f(0)=0,而x≤0时,x=0,故若f(x2-2)>f(x),则x2-2>x,且x2-2>0,解得x>2或x<-.答案:(-∞,-)∪(2,+∞)