2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第二章第四节函数的图象

第四节函数的图象

1．描点法作函数图象

通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象．

 “左加右减，上加下减”．左加右减只针对x本身，与x的系　 数无关；上加下减指的是在f(x) 整体上加减.

2．函数图象的变换

(1)平移变换

(2)对称变换

y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；

y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；

y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；

y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象．

(3)翻折变换

y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；

y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．

图象变换的注意点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．

[熟记常用结论]

1．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．

2．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点中心对称．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)

(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)

(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、选填题

1．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)

答案：C

2．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选A　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．

3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)

A．ex＋1  B．ex－1

C．e－x＋1  D．e－x－1

解析：选D　与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.

4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log f(x)的定义域是________．

解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．

答案：(2,8]

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.

答案：(0，＋∞)

[考法全析]

考法(一)　知式选图

[例1]　(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

[解析]　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，

∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．

当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项．

又e>2，∴＜，∴e－>1，排除C选项．故选B.

[答案]　B

[例2]　(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

[解析]　令f(x)＝－x4＋x2＋2，

则f′(x)＝－4x3＋2x，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，

则f′(x)>0的解集为∪，

f(x)在，上单调递增；f′(x)＜0的解集为∪，f(x)在，上单调递减，结合图象知选D.

[答案]　D

考法(二)　借助动点探究函数图象

[例3]　广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象为(　　)

[解析]　根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x∈[0，π)时，函数值不变，y＝f(x)＝1；当x∈[π，2π)时，设与的夹角为θ，∵||＝1，| |＝2，θ＝x－π，∴y＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，∴y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增；当x∈[2π，4π)时，＝－，设与的夹角为α，||＝2，||＝1，α＝π－＝2π－x，∴y＝|O1P|2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos ，函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选A.

[答案]　A

考法(三)　图象变换问题

[例4]　已知函数y＝f(1－x)的图象如图，则y＝|f(x＋2)|的图象是(　　)

[解析]　(1)把函数y＝f(1－x)的图象向左平移1个单位得y＝f(－x)的图象；(2)作出f(－x)关于y轴对称的函数图象得y＝f(x)的图象；(3)将f(x)向左平移2个单位得y＝f(x＋2)的图象；(4)将y＝f(x＋2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x＋2)|的图象．

[答案]　A

[规律探求]

[过关训练]

1．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是(　　)

解析：选B　易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0.故选B.

2.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析：选B　当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.

当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2＜1＋，∴f＜f＝f，从而排除D，故选B.

3．已知函数f(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为(　　)

解析：选A　先作出函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x＜0时的图象，故选A.

[考法全析]

考法(一)　研究函数的性质

[例1]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝

画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

[答案]　C

考法(二)　研究不等式的求解问题

[例2]　(1)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　 B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  D．(－1,0)∪(0,1)

(2)若不等式(x－1)2＜logax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1,2]   B.

C．(1，)  D．(，2)

[解析]　(1)因为f(x)为奇函数，所以不等式＜0可化为＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．

(2)要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．

当0＜a＜1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．故选A.

[答案]　(1)D　(2)A

考法(三)　研究方程根的问题

[例3]　(2019·沈阳质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为(　　)

A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

[解析]　因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数．作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.

[答案]　C

[规律探求]

 [过关训练]

1．(2019·昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)

A．有最小值－1，最大值1   B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值  D．有最大值－1，无最小值

解析：选C　如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|＜g(x)，故h(x)＝－g(x)．

综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．

2．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，下列不等式成立的是(　　)

A．f(x1)＋f(x2)＜0   B．f(x1)＋f(x2)＞0

C．f(x1)－f(x2)＞0  D．f(x1)－f(x2)＜0

解析：选D　函数f(x)的图象如图所示．

f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x1|＜|x2|，则f(x2)＞f(x1)，即f(x1)－f(x2)＜0.

3．已知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．

解析：y＝作出其图象，如图所示．此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－，要使直线y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，

所以1＜a＜.

答案：