2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第六节简单的三角恒等变换
展开第六节简单的三角恒等变换
考点一三角函数式的化简[师生共研过关]
[典例精析]
化简：(1).
(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
[解析] (1)＝
＝＝4sin α.
(2)原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝＋－cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝.
[答案] (1)4sin α (2)
[解题技法]
1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
[过关训练]
1.·等于( )
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
解析：选D 原式＝＝＝cos α.
2．化简：＝__________.
解析：原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
答案：cos 2x
考点二三角函数的求值[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 给角求值
[例1] [2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.
[解析] 原式＝·
sin 80°＝·cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
[答案]
考法(二) 给值求值
[例2] 已知cos＝，若＜x＜，则的值为________．
[解析] 由＜x＜，得＜x＋＜2π.
又cos＝，所以sin＝－，
所以cos x＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－，
从而sin x＝－，tan x＝7.
则＝
＝＝－.
[答案] －
考法(三) 给值求角
[例3] 若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________．
[解析] ∵α∈，∴2α∈，
又sin 2α＝，∴2α∈，
∴cos 2α＝－且α∈，
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，∴cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，∴α＋β＝.
[答案]
[规律探求]
看个性 | 考法(一)“给角求值”一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题. 考法(二)“给值求值”即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系. 考法(三)“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在选取函数时，遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数． (3)谨记“给值求角”问题口诀 |
找共性 | 研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解 |
[过关训练]
1．已知α为第二象限角，且tan α＋tan＝2tan αtan－2，则sin＝________.
解析：由已知可得tan＝－2，
∵α为第二象限角，
∴sin＝，cos＝－，
则sin＝－sin
＝－sin
＝cossin－sincos
＝－.
答案：－
2.＝________.(用数字作答)
解析：＝
＝＝＝.
答案：
3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝＞0，∴0＜α＜.
又∵tan 2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－.
答案：－
考点三三角恒等变换与三角函数的综合应用[师生共研过关]
[典例精析]
已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．
[解] (1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵f＝，∴sin＝1.
又α∈(0，π)，∴－＜α－＜，
∴α－＝，故α＝.
因此tan＝＝＝2－.
[解题技法]
解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤
第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
第二步：构造f(x)＝·；
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[过关训练]
已知函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．
解：(1)由题意得f(x)＝sin＋cos
＝×
＝－sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间上的最大值为，
最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin
＝－sin
＝－(sin 2θ－cos 2θ)
＝(cos 2θ－sin 2θ)
＝
＝.
