2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第三节三角函数的图象与性质


第三节三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图❶
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象


❷
定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性❸
奇函数
偶函数
奇函数

在(k∈Z)❺上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上是递增函数❻

周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z)
对称中心是(k∈Z)
五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．
正切函数的图象是由直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．
判断三角函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
写单调区间时，不要忘记k∈Z.
(1)y＝tan x无单调递减区间；
(2)y＝tan x在整个定义域内不单调.
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期都是，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是.
[熟记常用结论]
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　　)
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．(　　)
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、选填题
1．函数y＝tan 3x的定义域为(　　)
A.　　 B.
C. D.
解析：选D　由3x≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋，k∈Z.
2．函数y＝2－cos(x∈R)的最大值和最小正周期分别是(　　)
A．2,3π B．1,6π
C．3,6π D．3,3π
解析：选C　由y＝2－cos知，ymax＝2－(－1)＝3，最小正周期T＝＝6π.
3．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选B　函数y＝2sin的最小正周期T＝＝π，
∵sin＝1，
∴函数y＝2sin的图象关于直线x＝对称．
4．函数y＝sin的图象的对称轴为______________，对称中心为________________．
解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z；
由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，
故函数y＝sin的图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，对称中心为，k∈Z.
答案：x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z
5．函数f(x)＝cos x－sin x的单调递增区间为________．
解析：f(x)＝cos x－sin x＝cos，由2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ－(k∈Z)．
∵x∈[0，π]，∴f(x)在上单调递增．
答案：
6．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析：由x∈，得2x－∈，
所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
答案：－

考点一三角函数的定义域[基础自学过关]
[题组练透]
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋(k∈Z)，故选D.
2．函数y＝的定义域为________．
解析：法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上函数y＝sin x和函数y＝cos x的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期性，所以原函数的定义域为
.

法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．
所以定义域为.
答案：(k∈Z)
3．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
解析：由得
∴－3≤x＜－或0＜x＜.
∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.
答案：∪
[名师微点]
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
考点二三角函数的值域(最值) [师生共研过关]
[典例精析]
(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为_________________________________．
[解析]　(1)当x∈时，2x－∈，
∴sin∈，
故3sin∈，
∴函数f(x)在区间上的值域为.
(2)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos x∈[0,1]，
因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
(3)设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
[答案]　(1)　(2)1　(3)
[解题技法]
求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
[过关训练]
1．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，－≤x≤，则f(x)的最大值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C. D.＋1
解析：选C　f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2sin.因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，故当x＝时，f(x)取最大值为，故选C.
2．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
考点三三角函数的单调性[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一)　求三角函数的单调区间
[例1]　(1)函数y＝sin的单调递减区间为________________．
(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为______________，单调递减区间为________________．
[解析]　(1)函数y＝sin＝－sin的单调递减区间是函数y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为，k∈Z.
(2)作出函数y＝|tan x|的图象，如图．

观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.
[答案]　(1)，k∈Z
(2)，k∈Z　，k∈Z
考法(二)　已知三角函数的单调性求参数
[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C. D．π
[解析]　f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
函数y＝sin单调递增，
则函数f(x)＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]⊆，∴0＜a≤，
∴a的最大值为.
[答案]　A
[规律探求]
看个性
考法(一)是已知三角函数的解析式求单调区间．
解决此类问题有以下两种方法：
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
考法(二)是已知三角函数的单调性求参数．
解决此类问题常用以下三种方法：
(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)反子集法：由已知区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
找共性
1.将解析式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的形式再求解．
2.整体代换思想及数形结合思想
[过关训练]
1．设函数f(x)＝sin，x∈，则以下结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在上单调递减
B．函数f(x)在上单调递增
C．函数f(x)在上单调递减
D．函数f(x)在上单调递增
解析：选C　由x∈，得2x－∈，所以函数f(x)先减后增；由x∈，得2x－∈，所以函数f(x)先增后减；由x∈，得2x－∈，所以函数f(x)单调递减；由x∈，得2x－∈，所以函数f(x)先减后增．故选C.
2．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，
在上单调递减，知＝，∴ω＝.
答案：
3．若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：因为函数y＝sin ωx在区间上单调递减，所以ω＜0且函数y＝sin(－ωx)在区间上单调递增，则
即解得－4≤ω＜0.
答案：[－4,0)
考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一)　三角函数的周期性
[例1]　在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③　　　　　　　 B．①③④
C．②④ D．①③
[解析]　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
[答案]　A
考法(二)　三角函数的奇偶性
[例2]　(2019·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________．
[解析]　∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．
[答案]　
考法(三)　三角函数的对称性
[例3]　(1)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称　 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
(2)(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
[解析]　(1)因为函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin.
令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)．
令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．
(2)由题意得f＝sin＝±1，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－.
[答案]　(1)B　(2)－
[规律探求]
看个性
考法(一)是函数周期性的计算.
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解.
考法(二)是函数奇偶性的判断及应用.
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
考法(三)是研究三角函数图象的对称性.
(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．
(2)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可
找共性
这类问题解题的关键是把原三角函数关系式统一角，统一名，即“一角一函数”，其解题思维流程是：


[过关训练]
1．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于中心对称，则函数f(x)在上的最小值是________．
解析：f(x)＝2sin，又图象关于中心对称，所以2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，
所以θ＝kπ－(k∈Z)，又0＜θ＜π，所以θ＝，
所以f(x)＝－2sin 2x，因为x∈，
所以2x∈，f(x)∈[－，2]，
所以f(x)的最小值是－.
答案：－
2．若x＝是函数f(x)＝sin，x∈R的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f(x)的最小正周期为________．
解析：依题意知，f＝sin＝0，
即－＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z.
又因为0＜ω＜10，
所以0＜8k＋2＜10，得－＜k＜1，
而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，
所以f(x)＝sin，f(x)的最小正周期为π.
答案：π