2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章第二节排列与组合

第二节排列与组合

1.排列、组合的定义

2.排列数、组合数的定义、公式、性质

正确理解组合数的性质

(1)C＝C：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.

(2)C＋C＝C：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　)

(3)若组合式C＝C，则x＝m成立.(　　)

(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、选填题

1.从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)

A.6　　　　　　　　　　 B.8

C.12 D.16

解析：选C　由于lg a－lg b＝lg ，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A＝12种，所以得到不同的值有12个.

2.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)

A.3种 B.6种

C.9种 D.18种

解析：选C　CC＋CC＝2×3＋1×3＝9.

3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)

A.8 B.24

C.48 D.120

解析：选C　因为末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.

4.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)

解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560(条)毕业留言.

答案：1 560

5.已知－＝，则m＝________.

解析：由已知得，m的取值范围为，原等式

可化为－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.

答案：2

考点一    排列问题[师生共研过关]

[典例精析]

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻.

[解]　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).

(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种).

(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种).

法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种).

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).

(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种).

[解题技法]

求解排列应用问题的6种主要方法

[过关训练]

1.(2019·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　　)

A.1 800　　　　　　　　 B.3 600

C.4 320 D.5 040

解析：选B　先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A种，所以共有AA＝3 600(种).

2.(2019·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　　)

A.250个 B.249个

C.48个 D.24个

解析：选C　①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.

3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有(　　)

A.1 108种 B.1 008种

C.960种 D.504种

解析：选B　将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1 008(种).

考点二    组合问题[师生共研过关]

[典例精析]

某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.

(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？

[解]　(1)从余下的34种商品中，

选取2种有C＝561(种)取法，

所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.

(2)从34种可选商品中，选取3种，

有C种或者C－C＝C＝5 984(种)取法.

所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.

(3)从20种真货中选取1种，

从15种假货中选取2种有CC＝2 100(种)取法.

所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.

(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，

共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).

所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.

(5)法一：(间接法)

选取3种商品的总数为C，因此共有选取方式

C－C＝6 545－455＝6 090(种).

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.

法二：(直接法)

共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种).

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.

[解题技法]

组合问题的2类题型及求解方法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

[过关训练]

1.(2018·南宁二中、柳州高中第二次联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是(　　)

A.72　　　　　　　　　 B.70

C.66 D.64

解析：选D　从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法.

2.(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.那么不同的搜寻方案有(　　)

A.10种 B.40种

C.70种 D.80种

解析：选B　若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案.综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案.

3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)

解析：从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种).

答案：16

考点三      分组、分配问题[全析考法过关]

[考法全析]

考法(一)　整体均分问题

[例1]　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.

[解析]　先把6个毕业生平均分成3组，有＝15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法.

[答案]　90

考法(二)　部分均分问题

[例2]　有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.

[解析]　先把4名学生分为2,1,1共3组，有＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案.

[答案]　36

考法(三)　不等分问题

[例3]　若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法.

[解析]　将6名教师分组，分三步完成：

第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；

第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；

第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法.

根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法.

再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，

故共有60×6＝360种不同的分法.

[答案]　360

[规律探求]

[过关训练]

1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A.12种 B.18种

C.24种 D.36种

解析：选D　因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).

2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种.

解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有·A＝150(种).

答案：150

考点四    排列、组合的综合问题[师生共研过关]

[典例精析]

(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)

A.300　　　　　　　　 B.216

C.180 D.162

(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个.(用数字作答)

[解析]　(1)分两类：

第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·A＝72(个)符合要求的四位数；

第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·(A－A)＝108(个)符合要求的四位数.

根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个).

(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是CAC＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是AC＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个).

当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为CAC＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是CCAC＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个).

根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个).

[答案]　(1)C　(2)324

[解题技法]

解决排列、组合综合问题的方法

(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.

(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.

[过关训练]

1.(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)

A.36种 B.24种

C.22种 D.20种

解析：选B　根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法.故共有24种推荐方法.

2.(2019·成都诊断)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________.(用数字作答)

解析：根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C·C·A＝3 600(种)；若甲、乙两人都参加，有C·A·A＝1 440(种).则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.

答案：5 040