2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

两个计数原理

(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.

(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.

(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.

(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.

[熟记常用结论]

1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.

2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　　)

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　　)

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)

(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、选填题

1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法共有(　　)

A.16种　　　　　　　　 B.13种

C.12种 D.10种

答案：C

2.小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张，则不同的买法共有(　　)

A.7种 B.8种

C.6种 D.9种

解析：选A　要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC电话卡、买2张IC电话卡、买3张IC电话卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事.买1张IC电话卡有2种方法，买2张IC电话卡有3种方法，买3张IC电话卡有2种方法.不同的买法共有2＋3＋2＝7(种).

3.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)

A.2 160 B.720

C.240 D.120

解析：选B　分步来完成此事.第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720(种)分法.

4.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________.

解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种).

答案：6

5.书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书.从第1,2,3层分别各取1本书，则不同的取法种数为________.

解析：由分步乘法计数原理，从1,2,3层分别各取1本书不同的取法共有4×5×6＝120(种).

答案：120

考点一    分类加法计数原理 [基础自学过关]

[题组练透]

1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.

解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.

答案：36

2.如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).

解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；

第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；

第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法.

由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.

答案：5

3.若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.

解析：当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7，共6个；

当m＝2时，n＝3,4,5,6,7，共5个；

当m＝3时，n＝4,5,6,7，共4个；

当m＝4时，n＝5,6,7，共3个；

当m＝5时，n＝6,7，共2个.

故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.

答案：20

4.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________.

解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).

答案：240

[名师微点]

应用分类加法计数原理解决实际问题的步骤

(1)审题：认真阅读题设条件，理清题目要求.

(2)分类：依据题设条件选择分类标准，做到不重不漏.

(3)整合：整合各类情况得出结论.

考点二    分步乘法计数原理[师生共研过关]

[典例精析]

(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为(　　)

A.6　　　　　　　　　 B.12

C.24 D.36

(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.

[解析]　(1)确定第二象限的点，可分两步完成：

第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；

第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法.

由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.

(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).

[答案]　(1)A　(2)120

[解题技法]

利用分步乘法计数原理解决问题的策略

(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.

(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.

[过关训练]

1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.

解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况.

答案：63

2.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答).

解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数.

答案：18　6

考点三     两个计数原理的综合应用[师生共研过关]

[典例精析]

(1)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)

A.24　　　　　　　　 B.48

C.72 D.96

(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)

A.48 B.18

C.24 D.36

(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)

A.60 B.48

C.36 D.24

[解析]　(1)分两种情况：

①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法.

②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.

故共有24＋48＝72种涂色方法.

(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).

(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.

[答案]　(1)C　(2)D　(3)B

[解题技法]

1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么.

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.

(3)弄清分步、分类的标准是什么.

(4)利用两个计数原理求解.

2.涂色、种植问题的解题关注点和关键

(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.

(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.

[过关训练]

1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.

解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).

答案：72

2.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).

解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).

答案：40