2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第七章第一节不等关系与一元二次不等式

第一节不等关系与一元二次不等式

1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；
a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a＞b＞0⇒ ＞ (n∈N，n≥2)．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实数根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}

R
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅

由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法,(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
[熟记常用结论]
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0⇒＜.
(2)a＜0＜b⇒＜.
(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞.
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)＜；＞(b－m＞0)．
(2)＞；＜(b－m＞0)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　)
(2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．(　　)
(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)
(4)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)
(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、选填题
1．设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为(　　)
A．A≥B　　　　　　　　　　 B．A＞B
C．A≤B D．A＜B
解析：选B　因为A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以A＞B.故选B.
2．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是(　　)
A.＞ B.＞
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
解析：选A　取a＝－2，b＝－1，则＞不成立．
3．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[0,3] B．(0,3)
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选A　要使函数f(x)＝有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.
4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由题意知a＞0且Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.
答案：[0,4]
5．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，∴－4＜－|β |≤0.
∴－3＜α－|β|＜3.
答案：(－3,3)

考点一[不等式的性质及应用基础自学过关]
[题组练透]
1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.＞　　　　　　 　　 B.＜
C.＞ D.＜
解析：选B　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
所以＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，
所以＜.故选B.
2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．
3．若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
答案：＜
4．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．
解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以＜.
当q＞0且q≠1时，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜.综上可知＜.
答案：＜
5．已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．
解析：∵－1＜x＜4,2＜y＜3，∴－3＜－y＜－2，
∴－4＜x－y＜2.
由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，
∴1＜3x＋2y＜18.
答案：(－4,2)　(1,18)
[名师微点]
比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
考点二一元二次不等式的解法[师生共研过关]
[典例精析]
(1)解不等式：－x2－2x＋3≥0；
(2)已知函数f(x)＝解不等式f(x)＞3；
(3)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≤0)．
[解]　(1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(2)由题意得或解得x＞1.
故原不等式的解集为{x|x＞1}．
(3)原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
[解题技法]
1．解一元二次不等式的一般步骤

2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)对于ax2＋bx＋c＞0(＜0)的形式：
当a＝0时，转化为一次不等式．
当a＜0时，转化为二次项系数为正的形式．
当a＞0时，直接求解．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根或一个根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

[过关训练]
1．不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________．
解析：原不等式等价于
即
即解得
故原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．
答案：[－2，－1)∪(2,3]
2．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解：原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a＞0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＜0时，不等式的解集为∪.
考点三一元二次不等式的恒成立问题[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一)　在R上的恒成立问题
[例1]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　　　　　　 B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
[解析]　当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2＜a＜2.
∴实数a的取值范围是(－2,2]．
[答案]　C
考法(二)　在给定区间上的恒成立问题
[例2]　设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　要使f(x)＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即mx2－mx＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝mx2－mx＋m－6＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0，
所以m＜，所以0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6＜0，
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，实数m的取值范围是.
法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为mx2－mx＋m－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
所以实数m的取值范围是.
考法(三)　给定参数范围求x的范围的恒成立问题
[例3]　若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
[解]　由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.
故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．

[规律探求]
看个性
考法(一)是一元二次不等式在R上恒成立问题：
解决此类问题常利用一元二次不等式在R上恒成立的条件，注意如果不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立，不要忽略a＝0时的情况．
考法(二)在给定区间上的恒成立问题求解方法：
(1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即
已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
考法(三)给定参数范围求x的范围的恒成立问题求解方法：
解决此类问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
找共性
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.

[过关训练]
1．若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，
所以只需
即解得－＜m＜0.
答案：
2．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[－6,2]．
(2)对于任意x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立．
即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a.
则有①Δ≤0或②
或③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a＜－6.
综上可知，实数a的取值范围为[－7,2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．

一、题点全面练
1．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＜N　　　　　　　　　 B．M ＞N
C．M＝N D．不确定
解析：选B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1＜0，a2－1＜0.
∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0，
∴M ＞N.
2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
解析：选D　m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．
3．若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式的序号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
解析：选C　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.
4．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是(　　)
A．(－1,0) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定
解析：选C　由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)的图象开口向下，
所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
5．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是(　　)
A．13 B．18
C．21 D．26
解析：选C　设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．

若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
则即
解得5＜a≤8，又a∈Z，故a＝6,7,8.
则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.
6．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
解析：当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则解得－3＜k＜0.综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．
答案：(－3,0]
7．若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
解析：由Δ＝a2＋8＞0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.
答案：
8．对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集为________．
解析：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x]＜，又当且仅当n≤x＜n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．
答案：[2,8)
9．若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集．
解：(1)由题意知a＜0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3＞0，
即2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜，
即不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集为.
10．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x＞0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥.
则实数a的取值范围为.
二、专项培优练
易错专练——不丢怨枉分
1．不等式＞1的解集为(　　)
A. B．(－∞，1)
C.∪(1，＋∞) D.
解析：选A　原不等式等价于－1＞0，
即＞0，整理得＜0，
不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0，解得＜x＜1.
2．若＜＜0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2＜b2 B．ab＜b2
C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|
解析：选D　由题可知b＜a＜0，所以A、B、C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．
3．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　)
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
解析：选C　因为x＞y＞z，
所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0，
由得xy＞xz.故选C.
4．若α，β满足则α＋3β的取值范围是________．
解析：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
则解得
因为－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
两式相加，得1≤α＋3β ≤7.
所以α＋3β的取值范围为[1,7]．
答案：[1,7]
5．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，则－1≤a≤1.
因为f(a)＞0在|a|≤1时恒成立，所以
①若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
②若x≠3，由一次函数的单调性，
可得即解得x＜2或x＞4.
则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．