2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第九章　平面解析几何高考专题突破五第2课时

第2课时　定点与定值问题
题型一　定点问题
例1 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
(1)解　由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设知k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，
解得k＝－.
当且仅当m>－1时，Δ>0，
于是l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，
所以l过定点(2，－1)．
思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
跟踪训练1 已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.
①若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x＋3y－2＝0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值；
②若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．
(1)解　由题意可得2c＝2，即c＝，
设Q，因为四边形ABPQ为平行四边形，
|PQ|＝2n，|AB|＝a－n，
所以2n＝a－n，n＝，
则＋＝1，解得b2＝2，a2＝b2＋c2＝4，
可得椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①解　直线y＝kx(k≠0)代入椭圆方程，
可得(1＋2k2)x2＝4，
解得x＝±，
可设M，
由E是3x＋3y－2＝0上一点，
可设E，
E到直线kx－y＝0的距离为d＝，
因为△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
所以OE⊥MN，|OM|＝d，
即有＝－，(*)
＝，(**)
由(*)得m＝(k≠1)，代入(**)式，
化简整理可得7k2－18k＋8＝0，解得k＝2或.
②证明　由M(－2,0)，可得直线MN的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
可得－2＋xN＝－，解得xN＝，
yN＝k(xN＋2)＝，即N，
设G(t,0)(t≠－2)，由题意可得D(2,4k)，A(2,0)，
以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，
可得AN⊥DG，即有·＝0，
即为·(t－2，－4k)＝0，解得t＝0.
故点G是定点，即为原点(0,0)．

题型二　定值问题
例2 (2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．
(1)解　因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，
所以2p＝4，即p＝2.
故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得k0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
从而k1＋k2＝＋
＝
＝2k－(k－4)·＝4.
当直线l的斜率不存在时，可得A，B，得k1＋k2＝4.
综上，k1＋k2为定值．

直线与圆锥曲线的综合问题
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．
例 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．
解　(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，即a＝2b2.
又e＝＝，所以a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，
又F1(－，0)，F2(，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意知＝.
由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.
所以＝.
因为－0，
已知此方程一个根为1，
∴x1×1＝＝，
即x1＝，
同理x2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝－＝－，
∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]
＝k(x1＋x2)－2k
＝k·－2k＝，
∴kAB＝＝＝－1，
∴直线AB的斜率为定值－1.
4.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，过左焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q两点，且|PQ|＝2.
(1)求C的方程；
(2)若直线l是圆x2＋y2＝8上的点(2,2)处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，设切线的斜率都存在．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．
解　(1)由已知，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
因为|PQ|＝2，不妨设点P(－c，)，
代入椭圆方程得，＋＝1，
又因为e＝＝，
所以＋＝1，b＝c，
所以b2＝4，a2＝2b2＝8，
所以C的方程为＋＝1.
(2)依题设，得直线l的方程为y－2＝－(x－2)，
即x＋y－4＝0，
设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x0≠x1且x0≠x2，
由切线MA的斜率存在，设其方程为y－y1＝k(x－x1)，
联立
得(2k2＋1)x2＋4k(y1－kx1)x＋2(y1－kx1)2－8＝0，
由相切得Δ＝16k2(y1－kx1)2－8(2k2＋1)[(y1－kx1)2－4]＝0，
化简得(y1－kx1)2＝8k2＋4，
即(x－8)k2－2x1y1k＋y－4＝0，
因为方程只有一解，
所以k＝＝＝－，
所以切线MA的方程为y－y1＝－(x－x1)，
即x1x＋2y1y＝8，
同理，切线MB的方程为x2x＋2y2y＝8，
又因为两切线都经过点M(x0，y0)，
所以
所以直线AB的方程为x0x＋2y0y＝8，
又x0＋y0＝4，
所以直线AB的方程可化为x0x＋2(4－x0)y＝8，
即x0(x－2y)＋8y－8＝0，
令得
所以直线AB恒过定点(2,1)．

5．(2018·抚顺模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点M到直线＋＝1的距离d＝，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值．
(1)解　由e＝，得c＝a，又b2＝a2－c2，
所以b＝a，即a＝2b.
由左顶点M(－a,0)到直线＋＝1，
即到直线bx＋ay－ab＝0的距离d＝，
得＝，即＝，
把a＝2b代入上式，得＝，解得b＝1.
所以a＝2b＝2，c＝.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当直线AB的斜率不存在时，由椭圆的对称性，
可知x1＝x2，y1＝－y2.
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，也就是x－y＝0，
又点A在椭圆C上，所以＋y＝1，
解得|x1|＝|y1|＝.
此时点O到直线AB的距离d1＝|x1|＝.
②当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝kx＋m，
与椭圆方程联立有
消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB，
所以·＝x1x2＋y1y2＝0，
所以(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
所以(1＋k2)·－＋m2＝0，
整理得5m2＝4(k2＋1)，
所以点O到直线AB的距离d1＝＝.
综上所述，点O到直线AB的距离为定值.

6.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过与两点．

(1)求椭圆C的方程；
(2)过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：＋＋为定值．
(1)解　将与两点代入椭圆C的方程，得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　由|MA|＝|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A，B关于原点对称．
①若点A，B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时
＋＋
＝＋＋＝2＝.
同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，此时
＋＋
＝＋＋＝2＝.
②若点A，B，M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，
则直线OM的方程为y＝－x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
解得x＝，y＝，
所以|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，
同理，|OM|2＝.
所以＋＋
＝2×＋＝.
综上，＋＋＝为定值．