2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第一章　集合与常用逻辑用语1.2

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲
考情考向分析
1.理解命题的概念．
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.



1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p

概念方法微思考
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题．(　√　)
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　×　)
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　√　)
题组二　教材改编
2．下列命题是真命题的是(　　)
A．矩形的对角线相等
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
答案　A
3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是_________________________．
答案　两直线不平行，同位角不相等
4.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充分不必要
题组三　易错自纠
5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　x>y⇏x>|y|(如x＝1，y＝－2)，
但当x>|y|时，能有x>y.
∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
6．已知p：x>a是q：2sin β”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　取α＝，β＝，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．
∴充分性不成立；
取α＝，β＝，sin α>sin β，但αβ”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．
(2)已知条件p：x>1或xx2，则綈p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由5x－6>x2，得20.
∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．
故选C.
8．“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．－1≤k2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，
故p是q的充分不必要条件．
11．在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案　充要
解析　因为cos A>sin B，所以cos A>cos，
因为角A，B均为锐角，所以－B为锐角，
又因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，
所以A，所以A＋Bsin B.
故“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．
12．已知集合A＝，B＝{x|－1