2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第九章　平面解析几何高考专题突破五第1课时

高考专题突破五　高考中的圆锥曲线问题
第1课时　范围、最值问题
题型一　范围问题
例1 (2018·鞍山质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围.
解　(1)∵双曲线的离心率为，
∴椭圆的离心率e＝＝.
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立
消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，
故·＝＝k2，
则－＋m2＝0.
由m≠0得k2＝，解得k＝±.
又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)
＝16(4k2－m2＋1)>0，得0