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2020版新一线高考物理（新课标）一轮复习教学案：第7章第2节 电场能的性质
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第2节 电场能的性质
知识点一| 电场力做功与电势能变化的关系
1．电场力做功
(1)特点：电场力做功和路径无关，只与初、末位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场线方向的位移。
②WAB＝qUAB，适用于任何形式的电场。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中某点的电势能，等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功。
(2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，WAB＝EpA－EpB。
(3)电势能的相对性，电势能是相对的，通常把电荷在离场源电荷无穷远处的电势能规定为零，或把电荷在地球表面的电势能规定为零。
(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。 (√)
(2)电势能是一个矢量，所以有正值和负值之分。 (×)
(3)电场力与速度方向夹角小于90°时，电场力做正功。 (√)
电势能大小的判断
判断方法
方法解读
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法
正电荷在电势高的地方电势能大
负电荷在电势低的地方电势能大
做功法
电场力做正功，电势能减小
电场力做负功，电势能增加
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
[典例] (多选)(2015·四川高考)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平，a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零，则小球a( )
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
BC [小球a从N点释放一直到达Q点的过程中，a、b两球的距离一直减小，库仑力变大，a受重力不变，重力和库仑力的夹角从90°一直减小，故合力变大，选项A错误；小球a从N到P的过程中，速度方向与重力和库仑力的合力方向的夹角由小于90°到大于90°，故库仑力与重力的合力先做正功后做负功，a球速率先增大后减小，选项B正确；小球a由N到Q的过程中库仑力一直做负功，电势能一直增加，选项C正确；小球a从P到Q的过程中，减少的动能转化为重力势能和电势能之和，故动能的减少量大于电势能的增加量，则选项D错误。]
1．(多选)(2019·绵阳模拟)如图所示，边长为2a的正方形ABCD的中心在直角坐标系xOy的原点O，AD平行于x轴，电荷量为－q的点电荷固定在G点 (－2a,0)，电荷量为＋q的点电荷固定在H点(2a,0)。电荷量为＋Q的点电荷在外力作用下从A点沿AD运动到D点，再沿DC运动到C点，则( )
A．A、B两点的电场强度大小相等
B．A、B两点的电场强度方向相同
C．点电荷＋Q从A到D的过程中，电势能增加
D．点电荷＋Q从D到C的过程中，电势能保持不变
AC [由对称可知，A、B两点的电场强度大小相等，方向不同，选项A正确，B错误；D点电势高于A点，则点电荷＋Q从A到D的过程中，电势能增加，选项C正确；从D到C电势先升高后降低，则点电荷＋Q从D到C的过程中，电势能先增加后减小，选项D错误；故选A、C。]
2.(2019·杭州模拟)将一金属小球置于竖直放置的带电平行金属板间，A、B间电场线分布如图所示，则下列判断正确的是( )
A．EM>EN，φM<φN B．EMφN
C．将正试探电荷从M点移到N点，电场力做正功
D．将负试探电荷从M点移到N点，电荷的电势能减小
C [电场线的疏密表示电场强度的强弱，由图象知M点处的电场强度大于N点处的电场强度，沿电场线的方向电势逐渐降低，M点处的电势高于N点电势，故A、B错误；将正检验电荷从M点移到N点，即将正电荷沿电场线方向移动，电场力做正功，故C正确；将负检验电荷从M点移到N点，电场力做负功，该电荷的电势能增加，故D错误。]
3.如图所示，匀强电场的电场强度E＝2×104 N/C。一个电荷量q＝＋1×10－8 C的点电荷从电场中的A点移动到B点，A、B之间的距离d＝0.1 m。求：
(1)电荷所受电场力的大小F；
(2)电场力对电荷做的功W。
解析：(1)点电荷在A点所受电场力的大小：
F＝qE＝1.0×10－8×2.0×104 N＝2.0×10－4 N。
(2)电场力对电荷做的功：
W＝qEd＝1.0×10－8×2.0×104×0.1 J＝2.0×10－5 J。
答案：(1)2.0×10－4 N (2)2.0×10－5 J
[考法指导] 求电场力做功的四种方法
(1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcos α。
(2)由WAB＝qUAB计算，此公式适用于任何电场。
(3)由电势能的变化计算：WAB＝EpA－EpB。
(4)由动能定理计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk。
知识点二| 电势与等势面
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)标矢性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因零电势点的选取不同而不同。
2．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)特点
①在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功。
②等势面一定与电场线垂直，即与场强方向垂直。
③电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面的疏密表示电场的强弱(等差等势面越密的地方，电场线越密)。
(1)电场强度为零的地方电势一定为零。 (×)
(2)电势为零的地方电场强度一定为零。 (×)
(3)同一等势面上各点的电场强度不一定相等。 (√)
电势高低的判断
判断依据
判断方法
电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电势能的高低
正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
电场力做功
根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
[典例] (多选)(2018·全国卷Ⅰ)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
AB [电子在等势面b时的电势能为E＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程中电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2 eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确。由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2 eV，C错误。电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的倍，D错误。如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。]
考法1 等势面与电场线
1.(2016·全国卷Ⅲ)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
B [在静电场中，两个电势不同的等势面不会相交，选项A错误；电场线与等势面一定相互垂直，选项B正确；同一等势面上的电场强度可能相等，也可能不相等，选项C错误；电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，移动负试探电荷时，电场力做负功，选项D错误。]
2．(2016·全国卷Ⅱ)如图所示，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点。若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc。则( )
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
D [a、b、c三点到固定的点电荷P的距离rbEc>Ea，故带电粒子Q在这三点的加速度ab>ac>aa。由运动轨迹可知带电粒子Q所受P的电场力为斥力，从a到b电场力做负功，由动能定理－|qUab|＝mv－mv<0，则vb0，vc>vb，又|Uab|>|Ubc|，则va>vc，故va>vc>vb，选项D正确。]
3．如图所示，实线为某电场的电场线，虚线表示该电场的等势面，A、B、C是电场中的三点，下列说法正确的是( )
A．三点中，B点的场强最大
B．三点中，A点的电势最高
C．将一带负电的检验电荷从A移动到B，电势能增大
D．将一带正电的检验电荷从A移动到B和从A移动到C，电势能的变化相同
D [电场线的疏密表示电场强度的大小，所以三点中，A点场强最大，A错误；沿电场线方向，电势逐渐降低，A点电势最低，B错误；将一带负电的检验电荷从A移动到B，电场力做正功，电势能减小，C错误；因为B、C两点在同一等势面上，所以将一带正电的检验电荷从A移动到B和从A移动到C，电场力做的功相同，电势能变化相同，D正确。]
考法2 场强、电势和电势能的判断
4．(2015·全国卷Ⅰ)如图所示，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ。一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等。则( )
A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM>φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
B [由电子从M点分别运动到N点和P点的过程中电场力所做的负功相等可知，N、P两点在同一等势面上，且电场线方向为MN，故选项B正确，选项A错误。M点与Q点在同一等势面上，电子由M点运动到Q点，电场力不做功，故选项C错误。电子由P点运动到Q点，电场力做正功，故选项D错误。]
5.(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vMvN。综上所述，选项D正确。]
6.(2019·厦门模拟)如图(a)所示，直线MN表示某电场中一条电场线，a、b是线上的两点，将一带负电荷的粒子从a点处由静止释放，粒子从a运动到b过程中的vt图象如图(b)所示，设a、b两点的电势分别为φa、φb，场强大小分别为Ea、Eb，粒子在a、b两点的电势能分别为Epa、Epb，不计重力，则有( )
(a) (b)
A．φa>φb B．Ea>Eb
C．Epa
考法3 静电场中的图象问题
7．(多选)静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
BC [由题图可知，x1到x4场强先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C正确，D错误。由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，知A错误，B正确。]
8．(多选)A、B为某电场中一条直线上的两个点，现将正点电荷从A点由静止释放，仅在电场力作用下运动一段距离到达B点，其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示，从A到B过程中，下列说法正确的是( )
A．电场力对电荷一直做正功
B．电荷所受电场力先减小后增大
C．电势先降低后升高
D．A、B两点处场强方向相同
BC [从A到B电势能先减小后增大，说明电场力先做正功后做负功，A错误；Epx图象的斜率＝F电场力，所以电场力先减小后增大，B正确；电场力先做正功后做负功，所以电场强度方向先向右后向左，电势先降低后升高，C正确，D错误。]
9.(多选)(2017·全国卷Ⅰ)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是( )
A．Ea∶Eb＝4∶1 B．Ec∶Ed＝2∶1
C．Wab∶Wbc＝3∶1 D．Wbc∶Wcd＝1∶3
AC [A对：由题图知，a、b、c、d四个点距点电荷的距离依次增大，且rb＝2ra，由E＝知，Ea∶Eb＝4∶1。
B错：rd＝2rc，由E＝知，Ec∶Ed＝4∶1。
C对：在移动电荷的过程中，电场力做的功与电势能的变化量大小相等，则Wab∶Wbc＝q(φa－φb)∶q(φb－φc)＝3∶1。
D错：Wbc∶Wcd＝q(φb－φc)∶q(φc－φd)＝1∶1。]
[考法指导] 静电场常见图象问题归纳
类型
特点及规律
φx图象
①电场强度的大小等于φx图线的斜率大小，电场强度为零处，φx图线存在极值，其切线的斜率为零；②在φx图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向；③在φx图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断
Ex图象
①反映了电场强度随位移变化的规律；②E＞0表示场强沿x轴正方向，E<0表示场强沿x轴负方向；③图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Epx图象
①反映了电势能随位移变化的规律；②图线的切线斜率大小等于电场力大小；③进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况
知识点三| 电势差
1．定义式：UAB＝。
2．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB。
3．影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零势点的选取无关。
4．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式：U＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场线方向的距离。
(2)电场强度的方向和大小：电场中，场强方向是指电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
(1)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功。 (×)
(2)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。 (×)
由E＝可推出的两个重要推论
甲 乙
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势，等于两端点电势的等差中项，即φC＝。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。
考法1 公式E＝的应用
1．(多选)下列关于电势差的说法中正确的是( )
A．在图中，若AB＝BC，则UAB＞UBC
B．在图中，若AB＝BC，则UAB＝UBC
C．在图中，若AB＝BC，则UAB＜UBC
D．在匀强电场中，与电场垂直的方向上任意两点间的电势差为零
AD [由电场线的疏密可知，A、B之间比B、C之间的平均电场强度大，由U＝d可知，AB＝BC时，UAB＞UBC，则A对，B、C错。等势面与电场线始终相互垂直，故D对。]
2．(2019·潍坊检测)如图所示，匀强电场的方向平行于xOy坐标系平面，其中坐标原点O处的电势为2 V，a点的坐标为(0,4 cm)，电势为8 V，b点的坐标为(3 cm,0)，电势为8 V，则电场强度的大小为( )
A．250 V/m
B．200 V/m
C．150 V/m
D．120 V/m
A [由题意可知a、b两点的电势相等，则ab为一条等势线，又O点电势为2 V，则知匀强电场的场强方向垂直于ab指向左下方，过O点作ab的垂线交ab于c点，由几何关系得：tan ∠b＝，得∠b＝53°
Oc＝Ob·sin ∠b＝0.03 m×sin 53°＝2.4×10－2 m
c、O间的电势差U＝8 V－2 V＝6 V
则电场强度大小E＝＝250 V/m，故A正确。]
3.如图所示，以O点为圆心，以R＝0.2 m为半径的圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d，该圆所在平面内有一匀强电场，场强方向与x轴正方向成θ＝60°角，已知a、b、c三点的电势分别为4 V、4 V、－4 V，则下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的场强E＝40 V/m
B．该匀强电场的场强E＝80 V/m
C．d点的电势为－4 V
D．d点的电势为－2 V
C [由电场强度公式可得E＝＝＝40(V/m)，则选项A、B错误；由对称性可得Uab＝Udc，即4－4＝φd－(－4)，解得φd＝－4 V，则选项C正确，D错误。]
考法2 电场中的功与能
4.(多选)(2018·全国卷Ⅱ)如图所示，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2。下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
BD [由题意得，(φa－φb)q＝W1，(φc－φd)q＝W2，只能得出a、b两点间和c、d两点间的电势关系，无法确定场强的方向，选项A错误；若c、d之间的距离为L，因无法确定场强的方向，故无法确定场强的大小，选项C错误；由于φM＝、φN＝、WMN＝q(φM－φN)，上述式子联立求解得粒子从M点移动到N点电场力做的功为WMN＝，所以B正确；若W1＝W2，有φa－φb＝φc－φd，变形可得φa－φc＝φb－φd，又φa－φM＝φa－＝，φb－φN＝φb－＝，所以φa－φM＝φb－φN，D正确。]
5.(多选)某静电除尘设备集尘板内壁带正电，设备中心位置有一带负电的放电极，它们之间的电场线分布如图所示，虚线为某带电烟尘颗粒(重力不计)的运动轨迹，A、B是轨迹上的两点，C点与B点关于放电极对称，下列说法正确的是( )
A．A点电势低于B点电势
B．A点电场强度小于C点电场强度
C．烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能
D．烟尘颗粒在A点的电势能小于在B点的电势能
AC [由沿电场线方向电势降低可知，A点电势低于B点电势，A正确；由图可知，A点电场线比C点密集，因此A点的场强大于C点场强，B错误；烟尘颗粒带负电，从A到B的过程中，电场力做正功，动能增加，烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能，电势能减小，烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能，C正确，D错误。]
6．如图所示，在绝缘的斜面上方，存在着匀强电场，电场方向平行于斜面向上，斜面上的带电金属块在平行于斜面的力F作用下沿斜面移动。已知金属块在移动的过程中，力F做功32 J，金属块克服电场力做功8 J，金属块克服摩擦力做功16 J，重力势能增加18 J，则在此过程中金属块的( )
A．动能减少10 J B．电势能增加24 J
C．机械能减少24 J D．内能增加32 J
A [由动能定理可知ΔEk＝32 J－8 J－16 J－18 J＝－10 J，A正确；克服电场力做功为8 J，则电势能增加8 J，B错误；机械能的改变量等于除重力以外的其他力所做的总功，故应为ΔE＝32 J－8 J－16 J＝8 J，C错误；物体内能的增加量等于克服摩擦力所做的功，D错误。]
[考法指导] 电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、弹簧弹力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
第2节 电场能的性质
知识点一| 电场力做功与电势能变化的关系
1．电场力做功
(1)特点：电场力做功和路径无关，只与初、末位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场线方向的位移。
②WAB＝qUAB，适用于任何形式的电场。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中某点的电势能，等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功。
(2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，WAB＝EpA－EpB。
(3)电势能的相对性，电势能是相对的，通常把电荷在离场源电荷无穷远处的电势能规定为零，或把电荷在地球表面的电势能规定为零。
(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。 (√)
(2)电势能是一个矢量，所以有正值和负值之分。 (×)
(3)电场力与速度方向夹角小于90°时，电场力做正功。 (√)
电势能大小的判断
判断方法
方法解读
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法
正电荷在电势高的地方电势能大
负电荷在电势低的地方电势能大
做功法
电场力做正功，电势能减小
电场力做负功，电势能增加
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
[典例] (多选)(2015·四川高考)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平，a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零，则小球a( )
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
BC [小球a从N点释放一直到达Q点的过程中，a、b两球的距离一直减小，库仑力变大，a受重力不变，重力和库仑力的夹角从90°一直减小，故合力变大，选项A错误；小球a从N到P的过程中，速度方向与重力和库仑力的合力方向的夹角由小于90°到大于90°，故库仑力与重力的合力先做正功后做负功，a球速率先增大后减小，选项B正确；小球a由N到Q的过程中库仑力一直做负功，电势能一直增加，选项C正确；小球a从P到Q的过程中，减少的动能转化为重力势能和电势能之和，故动能的减少量大于电势能的增加量，则选项D错误。]
1．(多选)(2019·绵阳模拟)如图所示，边长为2a的正方形ABCD的中心在直角坐标系xOy的原点O，AD平行于x轴，电荷量为－q的点电荷固定在G点 (－2a,0)，电荷量为＋q的点电荷固定在H点(2a,0)。电荷量为＋Q的点电荷在外力作用下从A点沿AD运动到D点，再沿DC运动到C点，则( )
A．A、B两点的电场强度大小相等
B．A、B两点的电场强度方向相同
C．点电荷＋Q从A到D的过程中，电势能增加
D．点电荷＋Q从D到C的过程中，电势能保持不变
AC [由对称可知，A、B两点的电场强度大小相等，方向不同，选项A正确，B错误；D点电势高于A点，则点电荷＋Q从A到D的过程中，电势能增加，选项C正确；从D到C电势先升高后降低，则点电荷＋Q从D到C的过程中，电势能先增加后减小，选项D错误；故选A、C。]
2.(2019·杭州模拟)将一金属小球置于竖直放置的带电平行金属板间，A、B间电场线分布如图所示，则下列判断正确的是( )
A．EM>EN，φM<φN B．EM
C．将正试探电荷从M点移到N点，电场力做正功
D．将负试探电荷从M点移到N点，电荷的电势能减小
C [电场线的疏密表示电场强度的强弱，由图象知M点处的电场强度大于N点处的电场强度，沿电场线的方向电势逐渐降低，M点处的电势高于N点电势，故A、B错误；将正检验电荷从M点移到N点，即将正电荷沿电场线方向移动，电场力做正功，故C正确；将负检验电荷从M点移到N点，电场力做负功，该电荷的电势能增加，故D错误。]
3.如图所示，匀强电场的电场强度E＝2×104 N/C。一个电荷量q＝＋1×10－8 C的点电荷从电场中的A点移动到B点，A、B之间的距离d＝0.1 m。求：
(1)电荷所受电场力的大小F；
(2)电场力对电荷做的功W。
解析：(1)点电荷在A点所受电场力的大小：
F＝qE＝1.0×10－8×2.0×104 N＝2.0×10－4 N。
(2)电场力对电荷做的功：
W＝qEd＝1.0×10－8×2.0×104×0.1 J＝2.0×10－5 J。
答案：(1)2.0×10－4 N (2)2.0×10－5 J
[考法指导] 求电场力做功的四种方法
(1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcos α。
(2)由WAB＝qUAB计算，此公式适用于任何电场。
(3)由电势能的变化计算：WAB＝EpA－EpB。
(4)由动能定理计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk。
知识点二| 电势与等势面
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)标矢性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因零电势点的选取不同而不同。
2．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)特点
①在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功。
②等势面一定与电场线垂直，即与场强方向垂直。
③电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面的疏密表示电场的强弱(等差等势面越密的地方，电场线越密)。
(1)电场强度为零的地方电势一定为零。 (×)
(2)电势为零的地方电场强度一定为零。 (×)
(3)同一等势面上各点的电场强度不一定相等。 (√)
电势高低的判断
判断依据
判断方法
电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电势能的高低
正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
电场力做功
根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
[典例] (多选)(2018·全国卷Ⅰ)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
AB [电子在等势面b时的电势能为E＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程中电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2 eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确。由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2 eV，C错误。电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的倍，D错误。如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。]
考法1 等势面与电场线
1.(2016·全国卷Ⅲ)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
B [在静电场中，两个电势不同的等势面不会相交，选项A错误；电场线与等势面一定相互垂直，选项B正确；同一等势面上的电场强度可能相等，也可能不相等，选项C错误；电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，移动负试探电荷时，电场力做负功，选项D错误。]
2．(2016·全国卷Ⅱ)如图所示，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点。若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc。则( )
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
D [a、b、c三点到固定的点电荷P的距离rb
3．如图所示，实线为某电场的电场线，虚线表示该电场的等势面，A、B、C是电场中的三点，下列说法正确的是( )
A．三点中，B点的场强最大
B．三点中，A点的电势最高
C．将一带负电的检验电荷从A移动到B，电势能增大
D．将一带正电的检验电荷从A移动到B和从A移动到C，电势能的变化相同
D [电场线的疏密表示电场强度的大小，所以三点中，A点场强最大，A错误；沿电场线方向，电势逐渐降低，A点电势最低，B错误；将一带负电的检验电荷从A移动到B，电场力做正功，电势能减小，C错误；因为B、C两点在同一等势面上，所以将一带正电的检验电荷从A移动到B和从A移动到C，电场力做的功相同，电势能变化相同，D正确。]
考法2 场强、电势和电势能的判断
4．(2015·全国卷Ⅰ)如图所示，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ。一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等。则( )
A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM>φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
B [由电子从M点分别运动到N点和P点的过程中电场力所做的负功相等可知，N、P两点在同一等势面上，且电场线方向为MN，故选项B正确，选项A错误。M点与Q点在同一等势面上，电子由M点运动到Q点，电场力不做功，故选项C错误。电子由P点运动到Q点，电场力做正功，故选项D错误。]
5.(2018·天津高考)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vM
6.(2019·厦门模拟)如图(a)所示，直线MN表示某电场中一条电场线，a、b是线上的两点，将一带负电荷的粒子从a点处由静止释放，粒子从a运动到b过程中的vt图象如图(b)所示，设a、b两点的电势分别为φa、φb，场强大小分别为Ea、Eb，粒子在a、b两点的电势能分别为Epa、Epb，不计重力，则有( )
(a) (b)
A．φa>φb B．Ea>Eb
C．Epa
考法3 静电场中的图象问题
7．(多选)静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
BC [由题图可知，x1到x4场强先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C正确，D错误。由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，知A错误，B正确。]
8．(多选)A、B为某电场中一条直线上的两个点，现将正点电荷从A点由静止释放，仅在电场力作用下运动一段距离到达B点，其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示，从A到B过程中，下列说法正确的是( )
A．电场力对电荷一直做正功
B．电荷所受电场力先减小后增大
C．电势先降低后升高
D．A、B两点处场强方向相同
BC [从A到B电势能先减小后增大，说明电场力先做正功后做负功，A错误；Epx图象的斜率＝F电场力，所以电场力先减小后增大，B正确；电场力先做正功后做负功，所以电场强度方向先向右后向左，电势先降低后升高，C正确，D错误。]
9.(多选)(2017·全国卷Ⅰ)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是( )
A．Ea∶Eb＝4∶1 B．Ec∶Ed＝2∶1
C．Wab∶Wbc＝3∶1 D．Wbc∶Wcd＝1∶3
AC [A对：由题图知，a、b、c、d四个点距点电荷的距离依次增大，且rb＝2ra，由E＝知，Ea∶Eb＝4∶1。
B错：rd＝2rc，由E＝知，Ec∶Ed＝4∶1。
C对：在移动电荷的过程中，电场力做的功与电势能的变化量大小相等，则Wab∶Wbc＝q(φa－φb)∶q(φb－φc)＝3∶1。
D错：Wbc∶Wcd＝q(φb－φc)∶q(φc－φd)＝1∶1。]
[考法指导] 静电场常见图象问题归纳
类型
特点及规律
φx图象
①电场强度的大小等于φx图线的斜率大小，电场强度为零处，φx图线存在极值，其切线的斜率为零；②在φx图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向；③在φx图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断
Ex图象
①反映了电场强度随位移变化的规律；②E＞0表示场强沿x轴正方向，E<0表示场强沿x轴负方向；③图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定
Epx图象
①反映了电势能随位移变化的规律；②图线的切线斜率大小等于电场力大小；③进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况
知识点三| 电势差
1．定义式：UAB＝。
2．电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB。
3．影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零势点的选取无关。
4．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式：U＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场线方向的距离。
(2)电场强度的方向和大小：电场中，场强方向是指电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
(1)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功。 (×)
(2)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。 (×)
由E＝可推出的两个重要推论
甲 乙
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势，等于两端点电势的等差中项，即φC＝。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。
考法1 公式E＝的应用
1．(多选)下列关于电势差的说法中正确的是( )
A．在图中，若AB＝BC，则UAB＞UBC
B．在图中，若AB＝BC，则UAB＝UBC
C．在图中，若AB＝BC，则UAB＜UBC
D．在匀强电场中，与电场垂直的方向上任意两点间的电势差为零
AD [由电场线的疏密可知，A、B之间比B、C之间的平均电场强度大，由U＝d可知，AB＝BC时，UAB＞UBC，则A对，B、C错。等势面与电场线始终相互垂直，故D对。]
2．(2019·潍坊检测)如图所示，匀强电场的方向平行于xOy坐标系平面，其中坐标原点O处的电势为2 V，a点的坐标为(0,4 cm)，电势为8 V，b点的坐标为(3 cm,0)，电势为8 V，则电场强度的大小为( )
A．250 V/m
B．200 V/m
C．150 V/m
D．120 V/m
A [由题意可知a、b两点的电势相等，则ab为一条等势线，又O点电势为2 V，则知匀强电场的场强方向垂直于ab指向左下方，过O点作ab的垂线交ab于c点，由几何关系得：tan ∠b＝，得∠b＝53°
Oc＝Ob·sin ∠b＝0.03 m×sin 53°＝2.4×10－2 m
c、O间的电势差U＝8 V－2 V＝6 V
则电场强度大小E＝＝250 V/m，故A正确。]
3.如图所示，以O点为圆心，以R＝0.2 m为半径的圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d，该圆所在平面内有一匀强电场，场强方向与x轴正方向成θ＝60°角，已知a、b、c三点的电势分别为4 V、4 V、－4 V，则下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的场强E＝40 V/m
B．该匀强电场的场强E＝80 V/m
C．d点的电势为－4 V
D．d点的电势为－2 V
C [由电场强度公式可得E＝＝＝40(V/m)，则选项A、B错误；由对称性可得Uab＝Udc，即4－4＝φd－(－4)，解得φd＝－4 V，则选项C正确，D错误。]
考法2 电场中的功与能
4.(多选)(2018·全国卷Ⅱ)如图所示，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2。下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
BD [由题意得，(φa－φb)q＝W1，(φc－φd)q＝W2，只能得出a、b两点间和c、d两点间的电势关系，无法确定场强的方向，选项A错误；若c、d之间的距离为L，因无法确定场强的方向，故无法确定场强的大小，选项C错误；由于φM＝、φN＝、WMN＝q(φM－φN)，上述式子联立求解得粒子从M点移动到N点电场力做的功为WMN＝，所以B正确；若W1＝W2，有φa－φb＝φc－φd，变形可得φa－φc＝φb－φd，又φa－φM＝φa－＝，φb－φN＝φb－＝，所以φa－φM＝φb－φN，D正确。]
5.(多选)某静电除尘设备集尘板内壁带正电，设备中心位置有一带负电的放电极，它们之间的电场线分布如图所示，虚线为某带电烟尘颗粒(重力不计)的运动轨迹，A、B是轨迹上的两点，C点与B点关于放电极对称，下列说法正确的是( )
A．A点电势低于B点电势
B．A点电场强度小于C点电场强度
C．烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能
D．烟尘颗粒在A点的电势能小于在B点的电势能
AC [由沿电场线方向电势降低可知，A点电势低于B点电势，A正确；由图可知，A点电场线比C点密集，因此A点的场强大于C点场强，B错误；烟尘颗粒带负电，从A到B的过程中，电场力做正功，动能增加，烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能，电势能减小，烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能，C正确，D错误。]
6．如图所示，在绝缘的斜面上方，存在着匀强电场，电场方向平行于斜面向上，斜面上的带电金属块在平行于斜面的力F作用下沿斜面移动。已知金属块在移动的过程中，力F做功32 J，金属块克服电场力做功8 J，金属块克服摩擦力做功16 J，重力势能增加18 J，则在此过程中金属块的( )
A．动能减少10 J B．电势能增加24 J
C．机械能减少24 J D．内能增加32 J
A [由动能定理可知ΔEk＝32 J－8 J－16 J－18 J＝－10 J，A正确；克服电场力做功为8 J，则电势能增加8 J，B错误；机械能的改变量等于除重力以外的其他力所做的总功，故应为ΔE＝32 J－8 J－16 J＝8 J，C错误；物体内能的增加量等于克服摩擦力所做的功，D错误。]
[考法指导] 电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、弹簧弹力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
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