2020版物理新增分大一轮江苏专用版讲义：第一章运动的描述匀变速直线运动第3讲

第3讲　自由落体运动

一、自由落体运动
1．条件：物体只受重力，从静止开始下落．
2．基本规律
(1)速度公式：v＝gt.
(2)位移公式：x＝gt2.
(3)速度位移关系式：v2＝2gx.
3．自由落体运动的推论
(1)连续相等的时间T内的位移之差：Δx＝gT2.
(2)平均速度：＝.
(3)若从开始运动时刻计时，划分为连续相等的时间间隔T，则有如下比例关系：
①T末、2T末、3T末……瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶……＝1∶2∶3∶……
②T内、2T内、3T内……位移之比
x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶……
③第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……＝1∶3∶5∶……
(4)若从运动起点(初位置)开始，划分为连续相等的位移x，则有如下比例关系：
①连续相等的位移末的瞬时速度
v1∶v2∶v3∶……＝1∶∶∶……
推证：由v2－v＝2ax可直接得到．
②通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶……＝1∶(－1)∶(－)∶……
4．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论．
(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推．这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来．
自测1　(2018·盐城市期中)将质量分别为500 g、200 g和100 g的实心铁球A、B和C从同一高度由静止释放，运动过程中空气阻力忽略不计，则(　　)
A．A球先落地 B．B球先落地
C．C球先落地 D．三球同时落地
答案　D
解析　因三小球下落时的重力加速度相同，且下落高度相同，故三小球一定同时落地，与它们的质量无关，故D正确，A、B、C错误．
二、竖直上抛运动
1．运动特点：加速度大小为g，方向竖直向下．上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．
2．运动性质：匀变速直线运动．
3．基本规律
(1)速度公式：v＝v0－gt；
(2)位移公式：x＝v0t－gt2.
自测2　(多选)物体做竖直上抛运动后又落回到原出发点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．上升过程中，加速度方向向上，速度方向向上
B．下落过程中，加速度方向向下，速度方向向下
C．在最高点时，加速度大小为零，速度大小为零
D．到最高点后，加速度方向不变，速度方向改变
答案　BD


命题点一　自由落体运动规律的应用
例1　(2019·清江中学期初)从离地面h＝80 m的空中自由释放一个小球，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)经过多长时间小球落到地面；
(2)小球下落过程的平均速度大小；
(3)小球在最后1 s内下落的高度Δh.
答案　(1)4 s　(2)20 m/s　(3)35 m
解析　(1)根据h＝gt2得小球落地的时间为t＝＝ s＝4 s
(2)小球的平均速度大小为＝＝ m/s＝20 m/s
(3)小球下落的总时间为4 s，前3 s内下落的高度为h1＝gt12＝×10×32 m＝45 m
则最后1 s内下落的高度为Δh＝h－h1＝35 m.
变式1　(2019·淮安中学期初)用如图1所示的方法可以测出一个人的反应时间，设直尺从开始自由下落，到直尺被受测者抓住，直尺下落的距离为h，受测者的反应时间为t，则(　　)

图1
A．t∝h
B．t∝
C．t∝h2
D．t∝
答案　D
例2　(2018·盐城中学段考)一块石头从楼房阳台边缘向下做自由落体运动．把它在空中运动的总时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是L，在第一段时间末的速度是v，那么下列说法错误的是(　　)
A．它在第三段时间内的位移是3L
B．它在三段时间内的总位移是9L
C．它在第三段末的速度为3v
D．它在全程的平均速度为1.5v
答案　A
解析　自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内通过的位移之比x1∶x2∶x3∶…＝1∶3∶5∶…，第一段时间内的位移是L，则第二段时间内的位移是3L，第三段时间内的位移是5L，三段时间内的总位移x＝9L，故A错误，B正确；T末、2T末、3T末速度之比为1∶2∶3，在第一段时间末的速度是v，则它在第三段末的速度为3v，故C正确；全程的平均速度＝＝1.5v，故D正确．
变式2　(多选)(2018·金陵中学质检)如图2所示，小球从竖直砖墙某位置由静止释放，不计空气阻力，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，图中1、2、3、4、5…为小球运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d.根据图中的信息，下列说法中正确的是(　　)

图2
A．能判定位置“1”是小球释放的初始位置
B．能求出小球下落的加速度为
C．能求出小球在位置“3”的速度为
D．能求出小球在位置“5”的速度为
答案　BCD
命题点二　竖直上抛运动
1．竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段．
(2)全程法：将全过程视为初速度为v0、加速度为a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性．习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方．
2．竖直上抛运动的三种对称性
(1)时间的对称性
①物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t上＝t下＝.
②物体在上升过程中经过某两点所用的时间与下降过程中经过该两点所用的时间相等．
(2)速度的对称性
①物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点的速度大小相等、方向相反．
②物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反．
(3)能量的对称性
竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等．
例3　(2018·盐城中学阶段性测试)气球以10 m/s的速度匀速上升，当它上升到离地175 m的高处时，一重物从气球上脱落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取10 m/s2，不计空气阻力)
答案　7 s　60 m/s
解析　方法一　把竖直上抛运动过程分段研究．
设重物离开气球后，经过t1时间上升到最高点，
则t1＝＝ s＝1 s.
上升的最大高度
h1＝＝ m＝5 m.
故重物离地面的最大高度为
H＝h1＋h＝5 m＋175 m＝180 m.
重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为
t2＝＝ s＝6 s.
v＝gt2＝10×6 m/s＝60 m/s.
所以重物从气球上脱落至落地共历时t＝t1＋t2＝7 s.
方法二　取全过程作为一个整体进行研究，从重物自气球上脱落计时，经时间t落地，规定初速度方向为正方向，画出运动草图如图所示，

则重物在时间t内的位移h＝－175 m.
由位移公式h＝v0t－gt2
有－175＝10t－×10t2，
解得t＝7 s，或t＝－5 s(舍去)，
所以重物落地速度为
v1＝v0－gt＝10 m/s－10×7 m/s＝－60 m/s.
其中负号表示方向向下，与初速度方向相反．
方法三　对称法
根据速度对称，重物返回脱落点时，具有向下的速度v0＝10 m/s，设落地速度为v，则v2－v02＝2gh.
解得v＝60 m/s，方向竖直向下．
经过h历时Δt＝＝5 s.
从最高点到落地历时t1＝＝6 s.
由时间对称可知，重物脱落后至落地历时
t＝2t1－Δt＝7 s.
变式3　(2018·南京市期中)某人站在楼房顶层O点竖直向上抛出一个小球，上升最大高度为10 m，然后落回到抛出点O下方25 m的B点，则小球在这一运动过程中通过的路程和位移分别为(规定竖直向上为正方向)(　　)
A．25 m、25 m B. 45 m、－25 m
C. 25 m、－25 m D. 65 m、－25 m
答案　B
命题点三　落体法测重力加速度
例4　频闪摄影是研究变速运动常用的实验手段．在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置．如图3是小球自由下落时的频闪照片示意图，频闪仪每隔0.04 s闪光一次．如果要通过这幅照片测量自由落体加速度，可以采用哪几种方法？试一试．
照片中的数字是小球下落过程中距起始点的距离，单位是厘米．

图3
答案　见解析
解析　方法一　根据公式x＝gt2
x＝19.6 cm＝0.196 m.
t＝5T＝0.2 s
g＝＝ m/s2＝9.8 m/s2
方法二　根据公式Δx＝gT2
x5－x3＝2gT2，x4－x2＝2gT2，则
g＝
＝×10－2 m/s2≈9.69 m/s2
方法三　根据v＝gt和＝＝＝v
＝ m/s≈1.56 m/s
g＝＝ m/s2＝9.75 m/s2.

1．(多选)甲物体的重量比乙物体大5倍，甲从H＝10 m高处自由落下，乙从2H高处与甲物体同时自由落下，在它们落地之前，下列说法中正确的是(　　)
A．两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度比乙的速度大
B．下落1 s末，它们的速度相同
C．各自下落1 m时，它们的速度相同
D．下落过程中甲的加速度比乙的加速度大
答案　BC
2．一小石块从空中a点自由落下，先后经过b点和c点，经过b点时速度为v，经过c点时速度为3v，不计空气阻力，则ab段与ac段位移之比为(　　)
A．1∶3 B．1∶5 C．1∶8 D．1∶9
答案　D
解析　石块做自由落体运动，则2ghab＝v2①
2ghac＝(3v)2②
由①②可得＝，选项D正确．
3.小钢球从某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到的照片如图4所示．已知连续两次曝光的时间间隔，为求出小球经过B点的速度，需测量(　　)

图4
A．照片中AC的距离
B．照片中球的直径及AC的距离
C．小钢球的实际直径、照片中AC的距离
D．小钢球的实际直径、照片中球的直径及AC的距离
答案　D
解析　根据匀变速直线运动的规律可知：vB＝；为求解AC的实际距离，需知道小钢球的实际直径、照片中球的直径及照片中AC的距离，然后根据比例关系可知AC的实际距离，故选项D正确，A、B、C错误．
4．一个人在离地面10 m高处，以40 m/s的初速度竖直上抛一物体(取g＝10 m/s2)，不计空气阻力，下列说法中正确的是(　　)
A．4 s末物体达到最高点，2 s末物体达到最大高度的一半
B．4 s末物体瞬时速度为零，2 s末物体的速度大小为初速度的一半
C．4 s末物体的加速度为零
D．5 s末物体的位移为5 m
答案　B
5．(2018·兴化市第一中学期初)为了测量运动员跃起的高度，可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录运动员运动过程中对弹性网的压力，并由计算机作出压力－时间图象，如图5所示．运动员在空中运动时可视为质点，则可求运动员跃起的最大高度为(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　 )

图5
A．7.2 m B. 5 m
C. 1.8 m D. 1.5 m
答案　B
解析　由题图可知运动员在空中的最长时间为：t＝4.3 s－2.3 s＝2 s，因为运动员做竖直上抛运动，所以跃起最大高度为：h＝g()2＝5 m，故B正确，A、C、D错误．


1．下列说法正确的是(　　)
A．让一枚硬币和一张纸片从同一高度自由下落，纸片下落得慢是因为纸片太轻
B．真空管中羽毛和金属片同时落下，说明物体下落的快慢与物体的重力无关
C．真空管中的羽毛和金属片会同时落下是因为金属片比较小，可能与羽毛的重力差不多
D．越重的物体下落得越快，说明物体下落的时间与重量成反比
答案　B
解析　物体下落的快慢与物体的重力无关，若物体不受空气阻力，或所受的空气阻力相对于物体的重力小很多时，物体由静止开始自由下落时的运动情况是相同的，故B选项正确．
2．伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图1所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列说法正确的是(　　)

图1
A．运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显
B．丁图是实验现象，甲图是经过合理的逻辑推理得到的结论
C．伽利略从实验得到速度与位移成正比的结论
D．通过上百次实验，伽利略得到：斜面的倾角一定，小球从不同的高度滚落，小球的加速度是不同的
答案　A
解析　伽利略的时代无法直接测定瞬时速度，就无法验证v与t成正比的思想，伽利略通过数学运算得到，若物体初速度为零，且速度随时间均匀变化，即v正比于t，那么它通过的位移与所用时间的二次方成正比，只要测出物体通过不同位移所用的时间就可以验证这个物体的速度是否随时间均匀变化．由于伽利略时代靠滴水计时，不能测量物体自由落体所用的时间，伽利略让小球沿阻力很小的斜面滚下，由于沿斜面下滑时加速度减小，所用时间较长，所以容易测量，这个方法可以“冲淡”重力，故A正确，D错误；乙、丙均是实验现象，丁图是经过合理的推理得到的结论，故B、C错误．
3．关于自由落体运动(取g＝10 m/s2)，下列说法中不正确的是(　　)
A．运动方向是竖直向下，v0＝0、a＝g的匀加速直线运动
B．在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶3∶5
C．在开始连续的三个1 s末的速度大小之比是1∶2∶3
D．从开始运动到距下落点5 m、10 m、15 m所经历的时间之比为1∶2∶3
答案　D
4．做自由落体运动的物体，落到全程的一半和全程所用的时间之比是(　　)
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶ D.∶1
答案　C
5．A、B两小球从不同高度自由下落，同时落地，A球下落的时间为t，B球下落的时间为，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为(重力加速度为g)(　　)
A．gt2 B.gt2
C.gt2 D.gt2
答案　D
解析　A球下落高度为hA＝gt2，B球下落高度为hB＝g()2＝gt2，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为Δh＝hA－×g×()2－hB＝gt2，D正确．
6．从某高处(高度大于5 m)释放一粒小石子，经过1 s从同一地点再释放另一粒小石子，不计空气阻力，则在它们落地之前的任一时刻(　　)
A．两粒石子间的距离将保持不变，速度之差保持不变
B．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差保持不变
C．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差也越来越大
D．两粒石子间的距离将不断减小，速度之差也越来越小
答案　B
解析　当第一个石子运动的时间为t时，第二个石子运动的时间为(t－1)．则有x1＝gt2①
v1＝gt②
x2＝g(t－1)2③
v2＝g(t－1)④
由①③得：Δx＝gt－g，由②④得：Δv＝g.
因此，Δx随t增大，Δv不变，选项B正确．
7．(2018·徐州市期中)如图2，为了能够方便测出人的反应时间，某研究小组制作了“反应时间测量尺”，其使用方法：甲同学捏住测量尺上端使其保持竖直，零刻度线位于乙同学的两指之间．当乙看见甲释放测量尺时，立即用手指捏住，根据乙手指所在测量尺的位置，直接读出反应时间．不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)

图2
A．“反应时间测量尺”A标度合理
B．“反应时间测量尺”B标度合理
C．“反应时间测量尺”下降的距离与时间成正比
D．用钢尺和塑料尺制成的测量尺刻度明显不同
答案　B
解析　由题意可知，手的位置在开始时应放在0刻度处，所以0刻度要在下边．物体做自由落体运动的位移：h＝gt2，位移与时间的平方成正比，所以随时间的增大，刻度尺上的间距增大，故A错误，B正确；“反应时间测量尺”下降的距离与时间的平方成正比，用钢尺和塑料尺制成的测量尺刻度应是相同的，故C、D错误．
8．(2018·红桥中学模拟)小明从某砖墙前的高处由静止释放一个石子，让其自由落下，拍摄到石子下落过程中的一张照片如图3所示．由于石子的运动，它在照片上留下一条模糊的径迹．已知每层砖的平均厚度为6.0 cm，照相机本次拍照曝光时间为1.5×10－2 s，由此估算出位置A距石子下落起始位置的距离约为(　　)

图3
A．1.6 m B．2.5 m C．3.2 m D．4.5 m
答案　C

9．(多选)(2019·淮安中学期初)某物体以30 m/s的速度竖直上抛，不计空气阻力，取g＝
10 m/s2，则5 s内物体的(　　)
A．路程为65 m
B．位移大小为25 m，方向向上
C．平均速度大小为13 m/s，方向向上
D．速度改变量大小为50 m/s，方向向下
答案　ABD
10．(多选)将小球a从地面以某一初速度竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球b从a球正上方距地面h处由静止释放，两球恰在处相遇(两球不相撞，不计空气阻力)．下列说法中正确的是(　　)
A．a球的初速度为
B．a、b两球从开始到相遇的过程中，平均速度大小相等
C．两球同时落地
D．相遇时两球速度大小相等
答案　AB
解析　两个球在相等的时间内，运动距离都是，加速度大小也相等，所以说明在处相遇时a球的速度大小刚好为0，而b球的速度大小刚好为v0，b球做自由落体运动，在竖直方向上有＝gt2，得t＝，a球做竖直上抛运动，有＝v0t－gt2，解得v0＝，所以A正确；从题目内容可看出，在处相遇，此时a球和b球的位移大小相同，时间相同，它们的加速度也相同，所以a、b两个球运动的平均速度大小相等，故B正确；两小球相遇后，a球做自由落体运动，b球做以v0＝为初速度、加速度为g、方向向下的匀加速直线运动，故b球先落地，故C错误；相遇时，a的速度va＝v0－gt＝0，b的速度vb＝gt＝，两个球的速度大小不同，故D错误．
11.(多选)(2017·南通中学考试)如图4所示，在一个水平桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面高度分别为h1∶h2∶h3＝3∶2∶1.若先后顺次静止释放a、b、c，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则(　　)

图4
A．三者到达桌面时的速度之比是∶∶1
B．三者运动时间之比为3∶2∶1
C．b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D．三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比，与质量成反比
答案　AC
解析　小球从某高度落下时，根据v2＝2gh可知到达桌面的速度为v＝，因为球离桌面高度分别为h1∶h2∶h3＝3∶2∶1，所以三者到达桌面时的速度之比是∶∶1，选项A正确；根据h＝gt2得，小球的运动时间t＝，故三者运动时间之比为∶∶1，选项B错误；设c落到桌面上所用时间为t，则a、b所用时间分别为t、t，则b与a开始下落的时间差Δt1＝t－t，c与b开始下落的时间差Δt2＝t－t，则Δt1－Δt2＝t－2t＋t＜0，所以b与a开始下落的时间差较小，选项C正确；三个小球运动的加速度与小球的重力、质量无关，选项D错误．
12.如图5所示，木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：(结果可用根式表示)

图5
(1)木杆经过圆筒的上端A所用的时间t1是多少？
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2是多少？
答案　(1)(2－) s　(2)(－) s
解析　(1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆的下端到达圆筒上端A用时t下A＝＝ s＝ s
木杆的上端到达圆筒上端A用时
t上A＝＝ s＝2 s
则木杆通过圆筒上端A所用的时间
t1＝t上A－t下A＝(2－) s
(2)木杆的上端到达圆筒下端B用时
t上B＝＝ s＝ s
则木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B－t下A＝(－) s