2020版物理新增分大一轮江苏专用版讲义：第四章曲线运动万有引力与航天第2讲

第2讲　抛体运动

一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动．
4．基本规律(如图1)

图1
(1)位移关系

(2)速度关系

自测1　(多选)如图2所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则(　　)

图2
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
答案　BD
自测2　(多选)某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的前方，如图3所示．不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次水平抛球时，可能做出的调整为(　　)

图3
A．减小初速度，抛出点高度不变
B．增大初速度，抛出点高度不变
C．初速度大小不变，降低抛出点高度
D．初速度大小不变，提高抛出点高度
答案　AC
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图4所示)

图4
(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
自测3　有A、B两小球，B的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图5所示，①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)

图5
A．① B．② C．③ D．④
答案　A
解析　物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无关，A、B两小球的运动轨迹相同，故A项正确.


命题点一　平抛运动规律的应用
1．飞行时间
由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与初速度方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度只与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图6所示．

图6
5．两个重要推论

图7
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图7所示，即xB＝.
推导：
→xB＝
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：
→tan θ＝2tan α
例1　(2018·江苏省押题卷)如图8，将一小球从某一高度水平抛出，抛出2 s后它的速度方向与水平方向的夹角为45°，落地时位移方向与水平方向的夹角为60°，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)

图8
A．小球做平抛运动的初速度是10 m/s
B．抛出点距地面的高度是60 m
C．小球做平抛运动的初速度是20 m/s
D．抛出点距地面的高度是240 m
答案　D
解析　由平抛运动的规律知：抛出2 s后，tan 45°＝，得v0＝vy＝gt1＝20 m/s，故A、C错误；落地时tan 60°＝＝得：t2＝＝4 s，抛出点距地面的高度h＝gt22＝240 m，故B错误，D正确．
拓展点1　多个物体的平抛运动

1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题．
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．
(3)若物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
例2　(多选)如图9，飞机进行投弹训练时以恒定速度沿着与竖直峭壁平面垂直的方向向着竖直峭壁水平飞行，释放炸弹1和2的时间间隔为t1；炸弹1和2均击在竖直峭壁上，且击中的时间间隔为t2，击中点间距为H.不计空气阻力，重力加速度已知．根据以上信息可以判断出或求出(　　)

图9
A．t1＞t2
B．t1＜t2
C．炸弹1离开飞机到击中竖直峭壁的时间
D．炸弹2离开飞机到击中竖直峭壁下落的高度
答案　ACD
解析　飞机做匀速直线运动，炸弹做平抛运动，炸弹一直在飞机的正下方，炸弹1和炸弹2击在峭壁上的时间间隔t2＝0，而t1≠0，故t1>t2，故A正确，B错误；如图所示，平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，设炸弹1的下落高度为h1，飞行时间为t，根据位移公式，有：h1＝gt2，h1－H＝g(t－t1)2，两个方程联立可以解出炸弹1离开飞机到击中竖直峭壁的时间t，也能求出炸弹2离开飞机到击中竖直峭壁下落的高度h1－H，故C、D正确．

变式1　(多选)(2018·苏州市期初调研)如图10所示，在水平地面上O点正上方的A、B两点同时水平抛出两个相同小球，它们最后都落到地面上的C点，则两球(　　)

图10
A．不可能同时落地
B．落在C点的速度方向可能相同
C．落在C点的速度大小可能相同
D．落在C点时重力的瞬时功率不可能相同
答案　ACD
解析　小球被水平抛出后，在竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2，可知高度不同，所以运动时间一定不同，故A正确；小球平抛运动轨迹为抛物线，速度方向为该点的切线方向，分别从A、B两点抛出的小球平抛运动轨迹不同，在C点的切线方向也不同，所以落地时速度方向不可能相同，故B错误；由动能定理：mgh＝mv2－mv02，落地时速度为：v＝，则知落在C点的速度大小可能相同，故C正确；落在C点时重力的瞬时功率P＝mgvy＝mg，当m相同、h不相同时P不可能相同，故D正确．
拓展点2　斜面上的平抛运动

1．顺着斜面平抛(如图11)

图11

方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2.对着斜面平抛(如图12)

图12
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
例3　(2018·盐城市三模)如图13所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后释放两颗炸弹，分别击中山坡上的M点和N点．释放两颗炸弹的时间间隔为Δt1，此过程中飞机飞行的距离为s1；击中M、N的时间间隔为Δt2，M、N两点间水平距离为s2.不计空气阻力．下列判断正确的是(　　)

图13
A．Δt1＞Δt2，s1＞s2 B．Δt1＞Δt2，s1＜s2
C．Δt1＜Δt2，s1＞s2 D．Δt1＜Δt2，s1＜s2
答案　A
变式2　(多选)(2018·锡山中学模拟)如图14所示，足够长的斜面上有a、b、c、d、e五个点，ab＝bc＝cd＝de，从a点水平抛出一个小球，初速度为v时，小球落在斜面上的b点，落在斜面上时的速度方向与斜面夹角为θ；不计空气阻力，则初速度为2v时(　　)

图14
A．小球可能落在斜面上的c点与d点之间
B．小球一定落在斜面上的e点
C．小球落在斜面时的速度方向与斜面夹角大于θ
D．小球落在斜面时的速度方向与斜面夹角也为θ
答案　BD
解析　设斜面与水平方向夹角为α，ab＝bc＝cd＝de＝L0，由题意知，初速度为v时，小球落在斜面上的b点，则有L0cos α＝vt1，L0sin α＝gt12，初速度为2v时，Lcos α＝2vt2，Lsin α＝gt22，联立解得L＝4L0，则小球一定落在斜面上的e点，选项A错误，B正确；设小球落在斜面上时的速度方向与水平方向之间的夹角为β，由平抛运动规律可知，tan β＝2tan α，故初速度为2v时，小球落在斜面时的速度方向与斜面夹角也为θ，选项C错误，D正确．
拓展点3　平抛运动中的临界极值问题

在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．
一般思路
(1)确定临界状态的轨迹过哪一个临界的点．
(2)分解该平抛运动，列出相应的位移方程．
例4　如图15所示，将小球从空中的A点以速度v0水平向右抛出，不计空气阻力，小球刚好擦过竖直挡板落在地面上的B点．若使小球仍刚好擦过竖直挡板且落在地面上B点的右侧，下列方法可行的是(　　)

图15
A．在A点正上方某位置将小球以小于v0的速度水平抛出
B．在A点正下方某位置将小球以大于v0的速度水平抛出
C．在A点将小球以大于v0的速度水平抛出
D．在A点将小球以小于v0的速度水平抛出
答案　B
命题点二　类平抛运动
1．类平抛运动的受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．类平抛运动的运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝.
3．类平抛运动问题的处理方法
将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
例5　(多选)如图16所示，A、B两质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计空气阻力，比较P1、P2在x轴方向上距抛出点的远近关系及落地时速度的大小关系，则(　　)

图16
A．P1较近 B．P1、P2一样远
C．A落地时速率大 D．A、B落地时速率一样大
答案　AD
命题点三　斜抛运动
斜抛运动是一种理想化运动，常用的处理方法是将其分解为两个简单的直线运动．
正交分解：如水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动．
非正交分解：如沿抛出方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动．
对斜上抛运动从抛出到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
例6　(2018·扬州市一模)某士兵练习迫击炮打靶，如图17所示，第一次炮弹落点在目标A的右侧，第二次调整炮弹发射方向后恰好击中目标，忽略空气阻力的影响，每次炮弹发射速度大小相等，下列说法正确的是(　　)

图17
A．第二次炮弹在空中运动时间较长
B．两次炮弹在空中运动时间相等
C．第二次炮弹落地速度较大
D．第二次炮弹落地速度较小
答案　A
解析　斜上抛运动在竖直方向为竖直上抛运动，在水平方向是匀速直线运动，设上升的高度为H，运动的时间为t，根据竖直上抛运动的规律可得：H＝g2，解得：t＝，所以第二次炮弹在空中运动时间较长，故A正确，B错误；每次炮弹发射速度大小相等，根据对称性可知，落地时二者的速度大小相等，故C、D错误．
变式3　(2019·响水中学模拟)体育课进行定点投篮训练，某次训练中，篮球运动轨迹如图18中虚线所示．下列所做的调整肯定不能使球落入篮筐的是(　　)

图18
A．保持球抛出方向不变，增加球出手时的速度
B．保持球抛出方向不变，减小球出手时的速度
C．增加球出手时的速度，减小球速度方向与水平方向的夹角
D．增加球出手时的速度，增大球速度方向与水平方向的夹角
答案　B
解析　设球抛出的初速度为v，与水平方向的夹角为θ，则水平初速度vx＝vcos θ，竖直初速度vy＝vsin θ；保持球抛出方向不变，增加球出手时的速度，则竖直分速度增大，运动时间变长，水平分速度增大，水平位移增大，可能落入篮筐，A错误；同理可知，保持球抛出方向不变，减小球出手时的速度，一定不能落入篮筐，B正确；增加球出手时的速度，减小球速度方向与水平方向的夹角，水平分速度变大，可能落入篮筐，C错误；增加球出手时的速度，增大球速度方向与水平方向的夹角，运动时间增大，水平方向分速度可能增大，篮球运动时间变长，可能落入篮筐，D错误．
拓展点　逆向思维法求解斜抛问题

例7　(多选)(2018·盐城市期中)如图19所示，某运动员在B处将壁球沿与水平方向成θ角斜向上击出，经一段时间t，壁球垂直击中竖直墙壁，反向弹回时速度比击中前小．运动员调整位置，在壁球击出的同一高度将反弹的壁球接住．则(不计空气阻力)(　　)

图19
A．从壁球反弹到被运动员接住的时间也为t
B．运动员接住壁球的位置，应在靠近墙壁的位置C
C．运动员接住壁球的位置，应在远离墙壁的位置A
D．运动员接住壁球时，壁球速度方向与水平方向夹角一定是θ
答案　AB
解析　壁球垂直击中墙壁前的逆过程是平抛运动，反向弹回做平抛运动，根据h＝gt2知，h相同，两个过程运动时间相等，所以从壁球反弹到被运动员接住的时间也为t，故A正确；根据x＝v0t知，反向弹回做平抛运动的初速度小，水平位移小，所以运动员接住壁球的位置，应在靠近墙壁的位置C，故B正确，C错误；根据tan θ＝＝，已知t相同，反向弹回做平抛运动的初速度v0小，则运动员接住壁球时，壁球速度方向与水平方向夹角一定大于θ，故D错误．

1．(2018·无锡市锡山区模拟)一架飞机在高空中沿水平方向匀加速直线飞行，每隔相同时间空投一个物体，不计空气阻力．地面观察者画出了某时刻空投物体的4幅情景图，其中正确的是(　　)

答案　C
2．(2018·淮安中学期中)“楚秀园”是淮安市一座旅游综合性公园，园内娱乐设施齐全．某同学在公园内玩掷飞镖游戏时，从同一位置先后以速度vA和vB将飞镖水平掷出，依次落在靶盘上的A、B两点，如图20所示，飞镖在空中运动的时间分别为tA和tB.忽略阻力作用，则(　　)

图20
A．vA＜vB，tA＜tB B．vA＜vB，tA＞tB
C．vA＞vB，tA＜tB D．vA＞vB，tA＞tB
答案　C
3．(多选)(2018·盐城中学4月检测)如图21所示，小球甲从A点水平抛出，同时将小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时速度大小相等，方向夹角为30°，已知B、C高度差为h，两小球质量相等，不计空气阻力，由以上条件可知(　　)

图21
A．小球甲做平抛运动的初速度大小为2
B．甲、乙两小球到达C点所用时间之比为∶2
C．A、B两点高度差为
D．两小球在C点时重力的瞬时功率大小相等
答案　BC
4.(2018·徐州市考前模拟)如图22所示，可视为质点的乒乓球以速率v从桌上弹起，恰从网边缘运动到对方球桌边缘．已知乒乓球刚弹起时的运动方向与桌面间的夹角为θ，不计空气作用力．下列说法正确的是(　　)

图22
A．只减小v，球可能落在对方桌上
B．只增大v，球可能落在对方桌上
C．只减小θ，球可能落在对方桌上
D．只增大θ，球可能落在对方桌上
答案　D


1．(多选)(2018·高邮市期初)如图1所示，滑板运动员以速度v0从离地高度h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点．下列说法中正确的是(　　)

图1
A．v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．h越大，运动员落地位置离平台越远
D．h越大，运动员落地瞬间速度与水平方向夹角越大
答案　BCD
解析　运动员和滑板做平抛运动，有h＝gt2，得 t＝，故运动员运动时间与v0无关，故A错误；根据动能定理，有mgh＝mv2－mv02，解得v＝，故v0越大，运动员落地瞬间速度越大，故B正确；水平位移x＝v0t＝v0，则运动员落地位置与v0大小和h大小都有关，h越大，运动员落地位置离平台越远，故C正确；运动员落地瞬间速度与水平方向夹角θ的正切值：tan θ＝＝，可知h越大，则tan θ越大，θ越大，故D正确．
2．(2017·苏锡常镇调研)某同学玩掷飞镖游戏，先后将两只飞镖a、b由同一位置水平掷出，已知飞镖掷出的初速度va>vb，不计空气阻力，则两支飞镖插在竖直靶上的状态(侧视图)可能是(　　)

答案　A
解析　因va>vb，则根据t＝可知taθb.故A正确．
3．(多选)(2018·射阳中学月考)a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图2所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则(　　)

图2
A．va>vb B．vatb D．tavb，故A正确，B错误；根据h＝gt2得：t＝，可知物体下降的高度决定物体运动的时间，所以ta