2020版物理新增分大一轮江苏专用版讲义：第四章曲线运动万有引力与航天第4讲

第4讲　万有引力定律及应用

一、开普勒三定律的内容、公式

定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
＝k，k是一个与行星无关的常量

自测1　关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案　B
解析　开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律．
二、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．(万有引力定律是由牛顿提出的)
2．表达式
F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出．
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
4．天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
G＝ma＝
自测2　(2018·锦屏中学模拟)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则(　　)
A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
答案　B
解析　航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得G＝m＝mrω2＝mr2＝ma，解得v＝，T＝，ω＝ ，a＝，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B正确．
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫最大环绕速度，其数值为7.9 km/s.
(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
(4)第一宇宙速度的计算方法．
由G＝m得v＝ ；由mg＝m得v＝.
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.

命题点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按椭圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1　(2018·盐城市期中)如图1所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运行，其轨道的半长轴为r，周期为T，图中S1、S2两部分阴影面积大小相等．则(　　)

图1
A．行星可以不在椭圆的焦点上
B．卫星从a到b的速率逐渐增大
C．卫星从a到b的运行时间大于从c到d的运行时间
D．椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值只与卫星的质量有关
答案　B
解析　根据开普勒第一定律知，卫星绕行星做椭圆运动，行星处于椭圆的一个焦点上，故A错误．卫星从a到b的过程中，万有引力做正功，根据动能定理知，速率增大，故B正确．根据开普勒第二定律知，S1、S2两部分阴影面积大小相等，则卫星从a到b的运行时间等于从c到d的运行时间，故C错误．根据开普勒第三定律知，椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值是定值，只与中心天体有关，与卫星的质量无关，故D错误．
命题点二　万有引力与重力的关系
忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝G.可得：
1．地球表面重力加速度g＝
距地面高h处重力加速度g′＝.
有＝，即g与到地心距离的平方成反比．
2．地球质量M＝.
3．恒等式：GM＝gR2.
以上各式对自转可忽略的其他星球同样适用．
例2　(2018·无锡市期中)据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．已知一个在地球表面质量为50 kg的人在这个行星表面的重量约为800 N，地球表面处的重力加速度为10 m/s2.求：
(1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少？
(2)若在该行星上距行星表面2 m高处，以10 m/s的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力)，则小球的水平射程是多大？
答案　(1)2　(2)5 m
解析　(1)在该行星表面处，
G人＝mg行，得g行＝16 m/s2.
在忽略自转的情况下，由万有引力等于物体所受的重力得＝mg
有 R2＝
故＝＝4，所以＝2.
(2)由平抛运动的规律，有
竖直方向h＝g行t2，水平方向x＝vt，故x＝v，
代入数据解得：x＝5 m.
变式1　(2018·淮安市、宿迁市等期中)宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内太空授课时，指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图2.若聂海胜的质量为m，飞船距离地球表面的高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，则聂海胜在太空舱内受到的重力大小为(　　)

图2
A．0 B．mg
C. D.
答案　D
解析　飞船在距地面高度为h处，由万有引力等于重力得：G′＝mg′＝，故D正确，A、B、C错误．
命题点三　中心天体—环绕天体模型
环绕天体做匀速圆周运动所需向心力由中心天体对它的万有引力提供(如图3)，

图3
即：G＝mr　①
或G＝m＝mω2r＝man等．
1．由①式可得中心天体质量：M＝
中心天体密度：ρ＝＝(r为环绕天体的轨道半径，R为中心天体的自身半径)
当r＝R时，ρ＝.
2．环绕天体运行各参量分析
(1)环绕天体的线速度：由G＝m，得v＝ ，即特定的轨道对应特定的速率．
(2)环绕天体的角速度：由G＝mrω2，得ω＝ .
(3)环绕天体的向心加速度：由G＝man，得an＝.
(4)环绕天体的运行周期：由G＝mr，得T＝ .
由于上述结论中引力常量G、中心天体质量M为常量，从而可以总结出：距离中心天体越远，轨道半径越大，周期越长，线速度、角速度、向心加速度越小．
准确地说：①T∝；②v∝ ；③ω∝；④a∝.
例3　(2018·南京市、盐城市一模)科学家发现太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量是(引力常量G已知)(　　)
A．恒星与太阳质量之比
B．恒星与太阳密度之比
C．行星与地球质量之比
D．行星与地球表面的重力加速度之比
答案　A
解析　根据万有引力提供向心力可得：G＝m()2r，解得：M＝，由题意可知，行星与恒星的距离为地球到太阳距离的100倍(即知道轨道半径之比)，行星围绕该恒星的周期为1 200年，地球绕太阳的周期为1年(即知道周期之比)，而G是常数，所以利用上式可求出恒星与太阳的质量之比，故A正确；由A分析可求出恒星与太阳的质量之比，但由于不知恒星与太阳的半径之比，所以不能求出恒星与太阳的密度之比，故B错误；根据万有引力提供向心力可得：G＝m()2r，解得的M是中心天体的质量，所以不能求出行星与地球的质量之比，故C错误；根据公式m0g＝可知，g＝，由于不知行星与地球的半径之比，所以不能求出行星与地球表面的重力加速度之比，故D错误．
变式2　(2019·射阳二中5月模拟)近年来，人类发射了多枚火星探测器对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)(　　)
A．ρ＝kT－1 B．ρ＝kT
C．ρ＝kT2 D．ρ＝kT－2
答案　D
解析　火星探测器绕火星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得：G＝mr(r为轨道半径即火星的半径)，得火星的质量M＝，则火星的平均密度ρ＝，联立解得火星的平均密度ρ＝＝＝kT－2(k为某个常量)，D正确．
变式3　(多选)(2018·徐州市期中)地球和火星围绕太阳的公转均可以看做匀速圆周运动．地球的轨道半径为r1，周期为T1，运行速度为v1，角速度为ω1，加速度为a1，火星的轨道半径为r2，周期为T2＝kT1，运行速度为v2，角速度为ω2，加速度为a2.下列关系正确的有(　　)
A.＝k B.＝
C.＝ D.＝
答案　AB
解析　根据G＝mr得：T＝ ，则 ＝＝k，解得：＝，因为ω＝，则有：＝＝k，故A、B正确．根据G＝m得：v＝ ，则有：＝＝，故C错误．根据G＝ma，得：a＝，则有：＝＝，故D错误．
拓展点　卫星运行分析

1．卫星的轨道(如图4)

图4
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
2．近地卫星
贴着地球表面绕地球运行的卫星，轨道半径R≈R地．
特点：(1)向心力G＝mg＝m.
(2)线速度v＝＝＝7.9 km/s是绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大运行速度．
(3)向心加速度a＝g.
(4)周期T＝＝2π≈84 min为卫星运行最小周期．
3．地球同步卫星
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．同步卫星有以下“七个一定”的特点：
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．
(4)高度一定：由＝m(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝－R≈3.6×107 m.
(5)速率一定：v＝≈3.1×103 m/s.
(6)向心加速度一定：由G＝man得an＝＝gh≈0.23 m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致．
例4　(2018·江苏单科·1)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月
9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为
36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
答案　A
解析　设地球质量为M，高分系列卫星质量为m，高分系列卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，得v＝，ω＝，T＝
2π ，a＝，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以选项A正确，B、C、D错误．
变式4　(多选)(2018·苏锡常镇二模)2017年6月，我国发射了宇宙探测卫星“慧眼”．卫星携带的硬X射线调制望远镜(Hard X－ray Modulation Telescope，简称HXMT)在离地550公里的轨道上观察遥远天体发出的X射线，为宇宙起源研究提供了新的证据．则“慧眼”的(　　)
A．角速度小于地球自转角速度
B．线速度小于第一宇宙速度
C．周期大于同步卫星的周期
D．向心加速度小于地面的重力加速度
答案　BD
变式5　(多选)(2018·扬州市一模)2017年9月25日，微信启动页面采用“风云四号”卫星成像图．“风云四号”是我国新一代静止轨道气象卫星，则其在圆轨道上运行时(　　)
A．可定位在赤道上空任意高度
B．线速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．角速度与地球自转角速度相等
D．向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大
答案　CD
解析　同步卫星只能在赤道上空，且高度保持不变，A错误；第一宇宙速度为人造地球卫星的最大运行速度，同步卫星的轨道半径大，则其速度小于第一宇宙速度，B错误；同步卫星的周期等于地球的自转周期，所以同步卫星绕地球运行的角速度与地球自转角速度相等，C正确；同步卫星与月球都是万有引力提供向心力，由G＝ma可得：a＝，同步卫星的轨道半径比月球小，故同步卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大，D正确.

1．(多选)(2018·常熟市期中)关于自由落体运动的加速度g，下列说法正确的是(　　)
A．同一地点轻重不同的物体的g值一样大
B．北京地面的g值比上海地面的g值略大
C．g值在赤道处大于在南北两极处
D．g值在地面任何地方都一样
答案　AB
解析　不管物体轻重如何，在同一地点，g值相等，故A正确；随着纬度的升高，重力加速度增大，则北京地面的g值比上海地面的g值略大，赤道处的重力加速度小于两极处重力加速度，故B正确，C、D错误．
2．(2018·泰州中学开学考)因“光纤之父”高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的倍，半径为地球半径的倍，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的(　　)
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
答案　C
3．(多选)(2018·南通市等七市三模) 某卫星绕地球做圆周运动周期等于地球自转周期，其轨道平面与赤道平面成55°角，则该卫星(　　)
A．离地面高度与地球同步卫星相同
B．在轨运行速度等于第一宇宙速度
C．加速度大于近地卫星的加速度
D．每天两次经过赤道上同一点的正上方
答案　AD
4．(多选)(2018·海安中学月考)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则(　　)
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
答案　ACD
解析　由T＝可得，轨道半径r＝，所以C正确；由G＝m，将r代入可得恒星质量M＝，所以A正确；由a＝可得，行星加速度a＝，所以D正确；在万有引力提供向心力的表达式中，行星质量无法求出，所以B错误．


1.(2018·徐州市期中)牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落点一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星．如图1所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动．下列说法正确的是(　　)

图1
A．地球的球心与椭圆的中心重合
B．卫星在近地点的速率小于在远地点的速率
C．卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度
D．卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积
答案　C
解析　根据开普勒第一定律可知，地球的球心应与椭圆的一个焦点重合，故A错误；卫星在近地点时的速率要大于在远地点的速率，故B错误；根据万有引力提供向心力G＝man可知，卫星在远地点的加速度一定小于在近地点的加速度，故C正确；根据开普勒第二定律可知，卫星与地球中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积，而不是与椭圆中心的连线，故D错误．
2．(2018·无锡市高三期末)如图2所示，2017年9月25日至9月28日期间，微信启动新界面，其画面视角从人类起源的非洲(左)变为华夏大地中国(右)．新照片由我国新一代静止轨道卫星(同步卫星)“风云四号”拍摄，见证着科学家15年的辛苦和努力．下列说法正确的是(　　)

图2
A．“风云四号”可能经过无锡正上空
B．“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度
C．与“风云四号”同轨道的卫星运动的动能都相等
D．“风云四号”的运行速度大于7.9 km/s
答案　B
3．(多选)(2018·泰州中学等综合评估)澳大利亚科学家宣布，在离地球约14光年的红矮星wolf 1061周围发现了三颗行星b、c、d，它们的公转周期分别是5天、18天、67天，公转轨道可视作圆，如图3所示．已知万有引力常量为G.下列说法正确的是(　　)

图3
A．可求出b、c的公转半径之比
B．可求出c、d的向心加速度之比
C．若已知c的公转半径，可求出红矮星的质量
D．若已知c的公转半径，可求出红矮星的密度
答案　ABC
4．(多选)(2018·盐城市期中) 半径为R的木星表面重力加速度为g0，卫星绕木星公转的轨道半径为r(r＞R)、周期为T、角速度为ω.已知引力常量为G，为求木星的质量，需要的物理量是(　　)
A．g0，r B．g0，R
C．ω，T D．r，T
答案　BD
解析　根据木星表面万有引力等于重力得：G＝mg0，得木星的质量为：M＝，故A错误，B正确．周期T＝，知道周期和角速度无法求出木星的质量，故C错误．根据万有引力提供向心力G＝m′r，得木星的质量为：M＝，故D正确．
5．(2018·徐州三中月考)据媒体报道，“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是(　　)
A．月球表面的重力加速度
B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月球运行的速度
D．卫星绕月球运行的加速度
答案　B
解析　绕月卫星“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、月球质量为M，有G＝m()2(R月＋h)
月球表面重力加速度公式
g月＝
联立解得g月＝
即可求出月球表面的重力加速度；
由于卫星的质量未知，故月球对卫星的吸引力无法求出；
由v＝可以求出卫星绕月球运行的速度；
由a＝()2(R月＋h)可以求出卫星绕月球运行的加速度，故选B.
6．(2018·常熟市期中)A、B两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，A卫星的运行周期大于B卫星的运行周期，则(　　)
A．A卫星距离地面的高度一定比B卫星的小
B．A卫星的运行速率一定比B卫星的大
C．A卫星的向心加速度一定比B卫星的小
D．A卫星的向心力一定比B卫星的大
答案　C
解析　根据G＝mr得，运行周期T＝，由于A的周期大于B的周期，则A的轨道半径大于B的轨道半径，则A距离地面的高度大于B距离地面的高度，故A错误；根据G＝m＝ma得，线速度v＝，向心加速度a＝，由于A的轨道半径大，则A的线速度小于B的线速度，A的向心加速度小于B的向心加速度，故B错误，C正确；由于A、B的质量未知，则无法比较向心力的大小，故D错误．
7．(2018·锡山中学月考)已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为R1和R2(公转轨道近似为圆)，如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　公转的轨道近似为圆，地球和火星的运动可以看做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律知，＝k，运动的周期之比＝ ，在一个周期内扫过的面积之比为＝＝，面积速率为，可知面积速率之比为 ，故B正确，A、C、D错误．
8.(2018·盐城中学4月检测)如图4所示，人造地球卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ，则M、N的运行速度大小之比等于(　　)

图4
A. B.
C. D.
答案　A

9．(2018·程桥高中月考)我国“北斗”卫星导航系统BDS堪比美国全球定位系统GPS.已知BDS导航系统某圆轨道卫星的运行周期约为12小时，则此卫星与GPS导航系统中某地球同步卫星相比较(　　)
A．轨道半径小 B．角速度小
C．线速度小 D．向心加速度小
答案　A
解析　根据G＝m＝m＝ma＝mrω2，
设该卫星周期为T，同步卫星周期为T同，
由题意有：T同＞T
据T＝2π ，有r同＞r，故A正确；据ω＝ 得ω同＜ω，所以B错误；据v＝ 得v同＜v，故C错误；a＝，得a同＜a，故D错误．
10．(多选)(2018·扬州中学5月模拟) 美国天文学家Michael Brown推测：太阳系有第九个大行星，其质量约为地球质量的10倍，直径约为地球直径的4倍，到太阳的平均距离约为地球到太阳平均距离的600倍，万有引力常量G已知．下列说法正确的有(　　)
A．该行星绕太阳运转的周期在70～80年之间
B．由题中所给的条件可以估算出太阳的密度
C．该行星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
D．该行星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
答案　CD
11．(2018·常熟市期中)一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r＝2R(R为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同．已知地球自转的角速度为ω0，地球表面处的重力加速度为g.求：
(1)该卫星所在处的重力加速度g′；
(2)该卫星绕地球转动的角速度ω.
答案　(1)g　(2)
解析　(1)在地球表面处物体受到的重力等于万有引力mg＝G，在轨道半径为r处，仍有万有引力等于重力＝G＝m′g′，解得：g′＝g
(2)根据万有引力提供向心力＝G＝
m′ω2(2R)，得ω＝ .
12．(2018·江苏省高考压轴卷) “玉兔号”月球车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”在月球表面做了一个自由落体实验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G.求：
(1)月球表面重力加速度和月球的“第一宇宙速度”；
(2)月球质量；
(3)月球同步卫星距离月球表面的高度．
答案　(1)　　(2)　(3) －R
解析　(1)由自由落体运动规律有：h＝g0t2，所以有：g0＝
月球的“第一宇宙速度”为近月卫星做匀速圆周运动的运行速度，根据重力提供向心力得mg0＝m，
所以v1＝＝；
(2)在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则mg0＝G，
所以M＝＝；
(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
G＝m(R＋H)，
解得H＝ －R＝ －R.