2020版高考物理新设计一轮复习江苏专版讲义：第四章第2节抛体运动

第2节抛体运动

(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)

(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×)

(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(×)

(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。(×)

(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。( √)

(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。(√)

(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(√)

突破点(一)　平抛运动的规律

1．基本规律

(1)速度关系

(2)位移关系

2．实用结论

(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。

(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示。

[题点全练]

1.(2019·南通调研)如图所示，某同学以不同的初速度将篮球从同一位置抛出，篮球两次抛出后均垂直撞在竖直墙上，图中曲线为篮球第一次运动的轨迹，O为撞击点，篮球第二次抛出后与墙的撞击点在O点正下方。忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)

A．篮球在空中运动的时间相等

B．篮球第一次撞墙时的速度较小

C．篮球第一次抛出时速度的竖直分量较小

D．篮球第一次抛出时的初速度较小

解析：选B　将篮球的运动反向处理，即可视为平抛运动，第二次下落的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；水平射程相等，由x＝v0t得知第二次水平分速度较大，即篮球第二次撞墙的速度较大，第一次撞墙时的速度较小，故B正确；第二次运动时间较短，则由vy＝gt可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小，故C错误；根据速度的合成可知，不能确定抛出时的速度大小，故D错误。

2.[多选](2019·扬州模拟)如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高度h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上。忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点。下列说法中正确的是(　　)

A．v0越大，运动员在空中运动时间越长

B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大

C．h越大，运动员落地位置离平台越远

D．h越大，运动员落地瞬间速度与水平方向夹角越大

解析：选BCD　运动员和滑板做平抛运动，在竖直方向有：h＝gt2，解得：t＝，则运动员运动时间与初速度无关，故A错误；根据动能定理得：mgh＝mv2－mv02，解得：v＝，可知运动员的初速度v0越大，运动员落地瞬间速度越大，故B正确；在水平方向做匀速运动，则水平射程：x＝v0t＝v0，则运动员落地位置与v0大小和h大小都有关，h越大，运动员落地位置离平台越远，故C正确；运动员落地瞬间速度与水平方向夹角θ的正切值：tan θ＝＝＝，可知h越大tan θ越大，θ越大，故D正确。

突破点(二)　多体平抛问题

[题点全练]

1.(2017·江苏高考)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)

A．t　　　　　　　　　 　　B.t

C.   D.

解析：选C　设两球间的水平距离为L，第一次抛出的速度分别为v1、v2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t＝，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，C项正确。

2．[多选]在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一个固定的竖直杆，其上的三个光滑水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地的高度分别为3h、2h和h。当小车遇到障碍物M时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，落到水平路面上的第一落点分别是a、b、c点，如图所示。不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)

A．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝∶∶1

B．三个小球从平抛至落地的时间之比tA∶tB∶tC＝3∶2∶1

C．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝(－)∶(－1)

D．三个小球落点的间距之比L1∶L2＝1∶1

解析：选AC　由题意可知，A、B、C三个小球下落高度之比为3∶2∶1，由于竖直方向上做自由落体运动，由t＝ 可知，三个小球从平抛至落地的时间之比为∶∶1，A正确，B错误；三个小球在水平方向上做速度相同的匀速直线运动，可知A、B、C三个小球的水平位移之比为∶∶1，因此由题图可知L1∶L2＝(－)∶(－1)，C正确，D错误。

[题后悟通]

对多体平抛问题的四点提醒

(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。

(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。

(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。

(4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。

突破点(三)　平抛运动问题的5种解法

平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。高考对平抛运动的考查往往将平抛运动置于实际情景或物理模型中，而在这些情景中求解平抛运动问题时只会运动分解的基本方法往往找不到解题突破口，这时根据平抛运动特点，结合试题情景和所求解的问题，再佐以假设法、对称法、等效法等，能使问题迎刃而解。

对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tan θ＝＝(θ为t时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。

[例1]　(2019·武邑模拟)如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点正上方的C点水平抛出一个小球(不计空气阻力)，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°。已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则C点到B点的距离为(　　)

A．R　　　　　　　 　　B.R

C.R   D.R

[解析]　小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有vy＝v0tan 53°；小球从C到D，水平方向有Rsin 53°＝v0t；竖直方向上有y＝t，联立解得y＝R，根据几何关系得，C点到B点的距离yCB＝y－R(1－cos 53°)＝R，故D正确。

[答案]　D

对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝(α为t时刻位移与水平方向间夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角α间的大小关系。　　　　

[例2]　(2019·肇庆模拟)如图所示，在斜面上某处A以初速度v水平抛出一小球，不计空气阻力，在确保小球能落到斜面上的前提下，下列说法正确的是(　　)

A．将A点沿斜面上移，小球飞行时间变长

B．将A点沿斜面下移，小球飞行时间变短

C．v增大，小球在空中飞行的时间变短

D．v增大，小球在空中飞行的时间变长

[解析]　小球落在斜面上时，由tan θ＝＝＝，得运动的时间为：t＝。将A点沿斜面上移或下移，式中各量不变，则小球飞行时间t不变，故A、B错误；v增大，飞行时间变长，故C错误，D正确。

[答案]　D

对于平抛运动，运动时间由下落高度决定，水平位移由下落高度和初速度决定，所以当下落高度相同时，水平位移与初速度成正比。但有时下落高度不同，水平位移就很难比较，这时可以采用假设法，例如移动水平地面使其下落高度相同，从而作出判断。　　　　

[例3]　如图所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点水平抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰落在b点。若小球初速度变为v，其落点位于c点，则(　　)

A．v0<v<2v0   B．v＝2v0

C．2v0<v<3v0   D．v>3v0

[解析]　小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰落在b点，改变初速度，落在c点，知水平位移变为原来的2倍，若时间不变，则初速度变为原来的2倍，由于运动时间变长，则初速度小于2v0，故A正确。

[答案]　A

推论Ⅰ：做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则tan θ＝2tan φ。

推论Ⅱ：做平抛运动的物体，任意时刻速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

推论Ⅲ：物体落回斜面的平抛运动中，物体在不同落点的速度方向与斜面的夹角相等。　

[例4]　如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖甲与竖直墙壁成α＝53°角，飞镖乙与竖直墙壁成β＝37°角，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

[解析]　设射出点P离墙壁的水平距离为L，飞镖甲下降的高度为h1，飞镖乙下降的高度为h2，

根据平抛运动的重要推论可知，两飞镖速度的反向延长线一定通过水平位移的中点Q，如图所示，由此得

cot β－cot α＝d，

代入数值得：

L＝。

[答案]　

当物体受到与初速度垂直的恒定的合外力时，其运动规律与平抛运动类似，简称类平抛运动。类平抛运动的求解方法是，将运动分解为初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即合外力方向)的匀加速直线运动，求出等效加速度，再利用求解平抛运动的方法求解相关问题。　　　　

[例5]　(2018·河北正定中学月考)风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力。如图所示，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建立xOy直角坐标系。质量m＝0.5 kg的小球以初速度v0＝0.40 m/s从O点沿x轴正方向运动，在0～2.0 s内受到一个沿y轴正方向、大小F1＝0.20 N的风力作用；小球运动2.0 s后风力方向变为沿y轴负方向、大小变为F2＝0.10 N(图中未画出)。试求：　

(1)2.0 s末小球在y轴方向的速度大小和2.0 s内运动的位移大小；

(2)风力F2作用多长时间，小球的速度变为与初速度相同。

[解析]　(1)设在0～2.0 s内小球运动的加速度为a1，

则F1＝ma1

2．0 s末小球在y轴方向的速度v1＝a1t1

代入数据解得v1＝0.8 m/s

沿x轴方向运动的位移x1＝v0t1

沿y轴方向运动的位移y1＝a1t12

2．0 s内运动的位移s1＝

代入数据解得s1＝0.8 m≈1.1 m。

(2)设2.0 s后小球运动的加速度为a2，F2的作用时间为t2时小球的速度变为与初速度相同。则F2＝ma2

0＝v1－a2t2

代入数据解得t2＝4.0 s。

[答案]　(1)0.8 m/s　1.1 m　(2)4.0 s

体育运动中的平抛运动问题

(一)乒乓球的平抛运动问题

1．[多选](2018·苏北重点中学联考)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率

B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率

C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间

D．过网时球1的速度大于球2的速度

解析：选AD　乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动。重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B错误；由h＝gt2可得两球飞行时间相同，C错误；由x＝vt可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D正确。

(二)足球的平抛运动问题

2.(2015·浙江高考)如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则(　　)

A．足球位移的大小x＝

B．足球初速度的大小v0＝

C．足球末速度的大小v＝

D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝

解析：选B　根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝ ，则足球位移的大小为：x＝ ＝ ，选项A错误；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝ ，选项B正确；对足球应用动能定理：mgh＝－，可得足球末速度v＝ ＝ ，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D错误。

(三)网球的平抛运动问题

3．一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。第一只球飞出时的初速度为v1，落在自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处。如图所示，第二只球飞出时的初速度为v2，直接擦网而过，也落在A点处。设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，求：

(1)网球两次飞出时的初速度之比v1∶v2；

(2)运动员击球点的高度H与网高h之比H∶h。

解析：(1)第一、二两只球被击出后都做平抛运动，由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的。

由题意知水平射程之比为：x1∶x2＝1∶3，故平抛运动的初速度之比为v1∶v2＝1∶3。

(2)第一只球落地后反弹做斜抛运动，根据运动对称性可知DB段和OB段是相同的平抛运动，则两球下落相同高度(H－h)后水平距离x1′＋x2′＝2x1，

根据公式H＝gt12，H－h＝gt22，

而x1＝v1t1，x1′＝v1t2，x2′＝v2t2，

综合可得v1t2＋v2t2＝2v1t1，故t1＝2t2，

即H＝4(H－h)，

解得H∶h＝4∶3。

答案：(1)1∶3　(2)4∶3

(四)排球的平抛运动问题

4．如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在网前3 m处正对球网跳起将球水平击出，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。

(1)若击球高度为2.5 m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；

(2)当击球点的高度低于何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？

解析：(1)排球被水平击出后，做平抛运动，如图所示，

若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间：

t1＝ ＝ s＝ s

由此得排球不越界的临界速度

v1＝＝ m/s＝12 m/s。

若球恰好触网，则球在网上方运动的时间：

t2＝ ＝  s＝ s。

得排球触网的临界击球速度值

v2＝＝ m/s＝3 m/s。

要使排球既不触网又不越界，水平击球速度v的取值范围为：3 m/s<v ≤12 m/s。

(2)设击球点的高度为h，当h较小时，击球速度过大会越界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在边界线上。

由几何知识可得＝，

得h＝＝ m＝ m。

即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网。

答案：(1)3 m/s<v≤12 m/s　(2) m

在解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度。