2020版高考物理新设计一轮复习江苏专版讲义：第十三章实验十二单摆的周期与摆长的关系

实 验 十 二

单摆的周期与摆长的关系

突破点(一)　实验原理与操作

[例1]　根据单摆周期公式T＝2π ，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。

(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm。

(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________。

a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些

b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的

c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T

e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝

[解析]　(1)该游标尺为十分度的，根据读数规则可读出小钢球直径为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm。

(2)根据用单摆测量重力加速度的实验要求可判断a、b、e正确。

[答案]　(1)18.6　(2)abe

[集训冲关]

1.[多选]如图所示，在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某同学发现他测量的重力加速度的值偏大，可能是下述哪个原因引起的(　　)

A．以摆线长作为摆长来计算

B．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算

C．把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间

D．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了

解析：选BC　根据周期公式T＝2π ，解得：g＝，以摆线长作为摆长来计算，摆长偏小，根据g＝可知，测得的g应偏小，故A错误；以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，摆长偏大，根据g＝可知，测得的g应偏大，故B正确；实验中误将n次全振动计为n＋1次，根据T＝求出的周期变小，g偏大，故C正确；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，测得的单摆周期变大，根据g＝可知，测得的g应偏小，故D错误。

2．在利用单摆测定重力加速度的实验中，下列说法正确的是(　　)

A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时

B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为

C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大

D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小

解析：选C　单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，则单摆偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过5°，把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，单摆的运动不是简谐运动，故A错误；测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为T＝＝，故B错误；由单摆周期公式：T＝2π 可知：g＝，用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，单摆摆长l偏大，由g＝可知，所测重力加速度偏大，故C正确；单摆在运动过程中要受到空气阻力作用，为减小实验误差应选择质量大而体积小，即密度大的球作为摆球，故D错误。

3．(2019·宿迁检测)某物理兴趣小组利用实验探究“单摆的周期与摆长的关系”，

(1)测摆长L时，若正确测出悬线长l和摆球直径d，则摆长L＝________。

(2)为提高测量结果的精确度，下列措施有利的是_______。

A．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的

B．摆线要细些、伸缩性要小，并适当增加摆线长度

C．摆球偏离平衡位置的角度不能太大

D．当摆球经过最高点时开始计时，测量50次全振动的时间，算出单摆的振动周期

(3)某同学由测量数据作出L­T2图线如图所示，根据图线求出重力加速度g＝________m/s2(保留三位有效数字)。

解析：(1)摆长是悬点到摆球重心间的距离，即L＝l＋；

(2)要减小空气阻力的影响，应选体积较小的摆球，故A错误； 摆线越细，摆线质量小，伸缩性小，摆线长度变化小；单摆的摆长越长，周期越大，适当加长摆长，便于测量周期，故B正确；单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，则单摆偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过5°，故C正确；单摆通过最低点时，速度最大，以此作为计时的起点，误差较小，测多个周期的时间取平均值作为单摆的周期，故D错误。

(3)根据单摆的周期T＝2π ，得L＝·T2，由图像可知：＝，得g＝9.86 m/s2。

答案：(1)l＋　(2)BC　(3)9.86

4.(1)在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间为75.2 s，计算可得单摆周期是________s。

(2)为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上(如图乙所示)，即图中用“·”表示的点，则：

①单摆做简谐运动应满足的条件是__________________________________________。

②根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2(结果保留两位有效数字)。

解析：(1)由T＝2π ，可知g＝。由题图甲可知：摆长l＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。T＝＝1.88 s。

(2)①单摆做简谐运动应满足的条件是摆线偏离平衡位置的夹角小于5°。②T2和l的关系图线如图所示，直线斜率k＝≈4.0，由g＝＝，可得g≈9.9 m/s2。

答案：(1)　0.875 0　1.88　(2)①摆线偏离平衡位置的夹角小于5°　②见解析图　9.9

突破点(二)　数据处理与误差分析

[例2]　用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。

(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用L、n、t表示)。

(2)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。

请计算出第3组实验中的T＝______s，g＝______m/s2。

(3)用多组实验数据作出T2­L图像，也可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2­L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)。

A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L

B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次

C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值

(4)某同学在家里测重力加速度。他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示，由于家里只有一根量程为0～30 cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程。保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长。实验中，当O、A间细线的长度分别为l1、l2时，测得相应单摆的周期为T1、T2。由此可得重力加速度g＝________(用l1、l2、T1、T2表示)。

[解析]　(1)单摆的振动周期T＝。

根据T＝2π，得g＝＝。

(2)T3＝＝2.01 s。

根据T＝2π ，得g＝≈9.76 m/s2。

(3)根据T＝2π ，得T 2＝L，即当L＝0时，T 2＝0。

出现图线a的原因是计算摆长时过短，可能是误将悬点O到小球上端的距离记为摆长，选项A错误；对于图线c，其斜率k变小了，根据k＝，可能是T变小了或L变大了，选项B中误将49次全振动记为50次，则周期T变小，选项B正确；由＝k得g＝，则k变小，重力加速度g变大，选项C错误。

(4)设A点到铁锁重心的距离为l0。根据单摆的周期公式T＝2π ，得T1＝2π ，T2＝2π 。联立以上两式，解得重力加速度g＝。

[答案]　(1)　(2)2.01　9.76　(3)B　(4)

[集训冲关]

5．(2019·扬州模拟)在“探究单摆的周期与摆长关系”的实验中，摆球在垂直纸面的平面内摆动，如图甲所示，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻。光敏电阻(光照时电阻比较小)与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为________。若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)。

解析：单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置时，摆球会挡住细激光束，从R­t图线可知单摆的周期为2t0。

摆长等于摆线的长度加上小球的半径，根据单摆的周期公式T＝2π ，可知摆长变大，所以周期变大。

答案：2t0　变大

6.(2019·高邮检测)在“利用单摆测重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到T2＝l。只要测量出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2­l图像，就可求出当地的重力加速度，理论上T2­l图像是一条过坐标原点的直线。某同学在实验中，用一个直径为d的带孔实心钢球作为摆球，多次改变悬点到摆球顶部的距离l0，分别测出摆球做简谐运动的周期T后，作出T2­l图像，如图所示。

(1)造成图像不过坐标原点的原因可能是__________。

A．将l0记为摆长l　　　 　B．摆球的振幅过小

C．将(l0＋d)计为摆长l   D．摆球质量过大

(2)由图像求出重力加速度g＝______m/s2(取π2＝9.87)。

解析：(1)图像不通过坐标原点，将图像向右平移1 cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1 cm，故可能是测摆长时漏掉了摆球的半径；将l0记为摆长l。

(2)由T＝2π ，可得：T2＝l，则T2­l图像的斜率等于，

解得：g＝π2＝9.87 m/s2。

答案：(1)A　(2)9.87

7．在用单摆测重力加速度的实验中：

(1)实验时必须控制摆角θ≤________；

(2)某学生在测量摆长时，只量了悬线的长度L当作摆长，而没有加上摆球的半径，直接将L和测得的周期用单摆的周期公式算出了当地的重力加速度。则测出的重力加速度将比实际的重力加速度________(选填“大”“小”或“一样”)。

(3)该同学通过改变悬线L长度而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图像，实验中所得到的T2­L关系图像如图乙所示，由图像可知，摆球的半径r＝________m；当地重力加速度g＝________ m/s2。

解析：(1)单摆在摆角小于等于5°情况下，近似为简谐运动，故实验时必须控制摆角θ在此范围内。

(2)由T＝2π 得，g＝，某学生在测量摆长时，只量了悬线的长度L当作摆长，而没有加上摆球的半径，导致摆长偏小，故g值偏小。

(3)T2­L的关系图像应为过原点的直线，由横轴截距得，摆球的半径应为1.2×10－2 m；图像斜率k＝＝＝＝4，则g＝＝＝π2 m/s2。

答案：(1)5°　(2)小　(3)1.2×10－2　π2

8．在“用单摆测重力加速度”的实验中，甲同学的操作步骤：

a．取一根细线，下端系住一金属小球，上端固定在铁架台上

b．用刻度尺量得细线长度l

c．在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球

d．在摆球通过最低点时，按下秒表开始计时，记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期T＝

e．用公式g＝计算重力加速度

按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比________(选填“偏大”“相同”或“偏小”)。

乙同学则在完成甲同学的操作步骤中的a、b、c、d四个步骤后，又改变摆线长l，测出对应的周期T，然后以摆线长l为横坐标，以周期T的二次方为纵坐标，作出了T2­l图像，求出图像的斜率k，然后求出重力加速度g。乙同学得出的重力加速度与实际值相比________(选填“偏大”“相同”或“偏小”)。

解析：根据公式g＝求解加速度，摆长实际值为：线长加小球的半径。而在计算时甲同学把线的长度当做摆长进行计算，所以l值小了，故计算出的重力加速度值偏小。根据重力加速度的表达式g＝，可知，T2­l图线斜率k＝，则g＝；从g的表达式可知：g与摆长无关，所以由图像求得的重力加速度值无影响。

答案：偏小　相同