2020版高考物理新创新一轮复习通用版讲义：第五章第30课时　功能关系　能量守恒定律（重点突破课）

第30课时　功能关系　能量守恒定律(重点突破课)

[考点一　功能关系的理解和应用]

功能关系是历年高考的考查热点。考查的题型既有选择题又有计算题。学生在解答这类问题时，常因为没有正确分析出哪些力做功或者哪些能量发生变化而出错。

1．功能关系

(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。

(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，能量的转化可以通过做功来实现。

2．几种常见的功能关系

3．两个特殊的功能关系

(1)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即Ffl相对＝ΔQ。

(2)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W克安＝ΔE电。

[典例]　(多选)(2019·佛山模拟)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其减速运动的加速度为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这个过程中物体(　　)

A．重力势能增加了mgh

B．机械能损失了mgh

C．动能损失了mgh

D．克服摩擦力做功mgh

[解析]　加速度a＝g＝，解得摩擦力Ff＝mg；物体在斜面上能够上升的最大高度为h，所以重力势能增加了mgh，故A正确；损失的机械能为克服摩擦力做的功Ffx＝mg·2h＝mgh，故B正确，D错误；动能损失量为克服合外力做功的大小ΔEk＝F合外力x＝mg·2h＝mgh，故C错误。

[答案]　AB

(1)在应用功能关系解决具体问题的过程中，动能的变化用动能定理分析。

(2)重力势能的变化用重力做功分析。

(3)机械能的变化用除重力和弹力之外的力做功分析。

(4)电势能的变化用电场力做功分析。

[集训冲关]

1．(2016·四川高考)韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功100 J。韩晓鹏在此过程中(　　)

A．动能增加了1 900 J

B．动能增加了2 000 J

C．重力势能减小了1 900 J

D．重力势能减小了2 000 J

解析：选C　根据动能定理得韩晓鹏动能的变化ΔE＝WG＋Wf＝1 900 J－100 J＝1 800 J＞0，故其动能增加了1 800 J，选项A、B错误；根据重力做功与重力势能变化的关系WG＝－ΔEp，所以ΔEp＝－WG＝－1 900 J＜0，故韩晓鹏的重力势能减小了1 900 J，选项C正确，D错误。

2．(多选)如图所示，在绝缘的斜面上方，存在着匀强电场，电场方向平行于斜面向上，斜面上的带电金属块在平行于斜面的力F作用下沿斜面移动。已知金属块在移动的过程中，力F做功32 J，金属块克服电场力做功8 J，金属块克服摩擦力做功16 J，重力势能增加18 J，则在此过程中金属块的(　　)

A．动能减少10 J　　　　　 　B．电势能增加24 J

C．机械能减少24 J   D．内能增加16 J

解析：选AD　根据动能定理，合力所做的功等于动能的变化量，则W合＝WF＋W电＋W阻＋W重＝－10 J，即动能减少10 J，A正确；电势能的变化量等于克服电场力所做的功，即ΔEp电＝－W电＝8 J，即电势能增加8 J，B错误；机械能的变化量等于除重力以外的其他力所做的功，即E＝WF＋W电＋W阻＝8 J，即机械能增加8 J，C错误；内能的增加量等于克服摩擦力做的功，即16 J，D正确。

3.如图所示，质量为1 kg的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止开始下滑，到b点开始压缩轻弹簧，到c点时达到最大速度，到d点(图中未画出)开始弹回，返回b点离开弹簧，恰能再回到a点。若bc＝0.1 m，弹簧弹性势能的最大值为8 J，g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)

A．弹簧的劲度系数是50 N/m

B．从d点到b点滑块克服重力做功8 J

C．滑块的动能最大值为8 J

D．从d点到c点弹簧的弹力对滑块做功8 J

解析：选A　当滑块的合力为0时，滑块速度最大，即知在c点时滑块的速度最大，此瞬间滑块受力平衡，则有mgsin 30°＝kbc，可得k＝＝50 N/m，故选项A正确；滑块从d点到a点，运用动能定理得WG＋W弹＝0－0，又W弹＝Ep＝8 J，可得WG＝－8 J，即克服重力做功8 J，所以从d点到b点滑块克服重力做功小于8 J，故选项B错误；滑块从a点到c点，由系统的机械能守恒知：滑块的动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和等于滑块重力势能的减少量，小于8 J，所以滑块的动能最大值小于8 J，故选项C错误；弹簧弹性势能的最大值为8 J，根据功能关系知从d点到b点弹簧的弹力对滑块做功8 J，从d点到c点弹簧的弹力对滑块做功小于8 J，故选项D错误。

[考点二　能量守恒定律的应用]

能量守恒定律是自然界的一条重要法则。也是高考的重要考点。解题的关键是能正确分析出各种能量形式的转化，最终找到“守恒”而列式。

1．能量守恒定律

(1)内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。

(2)表达式：ΔE减＝ΔE增。

2．对能量守恒定律的两点理解

(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

3．能量转化问题的解题思路

(1)当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。

(2)解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。

[考法细研]

考法1　多运动过程中的能量守恒问题　

[例1] 　(2019·杭州模拟)在学校组织的趣味运动会上，某科技小组为大家提供了一个游戏。如图所示，将一质量为0.1 kg的钢球放在O点，用弹射装置将其弹出，使其沿着光滑的半圆形轨道OA和AB运动。BC段为一段长为L＝2.0 m的粗糙平面，DEFG为接球槽。半圆形轨道OA和AB的半径分别为r＝0.2 m、R＝0.4 m，小球与BC段的动摩擦因数为μ＝0.7，C点离接球槽的高度为h＝1.25 m，水平距离为x＝0.5 m，接球槽足够大，g取10 m/s2。求：

(1)要使钢球恰好不脱离半圆形轨道，钢球在A点的速度大小；

(2)钢球恰好不脱离轨道时，在B位置对半圆形轨道的压力大小；

(3)要使钢球最终能落入槽中，弹射速度v0至少多大。

[解析]　(1)要使钢球恰好不脱离半圆形轨道，钢球在最高点A时，对钢球分析有

mg＝m，

解得vA＝2 m/s。

(2)钢球从A到B的过程由动能定理得

mg·2R＝mvB2－mvA2，

在B点有FN－mg＝m，

解得FN＝6 N，

根据牛顿第三定律，钢球在B位置对半圆形轨道的压力大小为6 N。

(3)从C到D钢球做平抛运动，要使钢球恰好能落入槽中，

则x＝vCt，h＝gt2，解得vC＝1 m/s，

假设钢球在A点的速度恰为vA＝2 m/s时，钢球可运动到C点，且速度为vC′，从A到C由动能定理得

mg·2R－μmgL＝mvC′2－mvA2，

解得vC′2<0，

故当钢球在A点的速度恰为vA＝2 m/s时，钢球不可能到达C点，更不可能入槽，要使钢球最终能落入槽中，需要更大的弹射速度，才能使钢球既不脱离轨道，又能落入槽中。当钢球到达C点速度为vC时，v0有最小值，从O到C由动能定理得

mgR－μmgL＝mvC2－mv02，

解得v0＝ m/s。

[答案]　(1)2 m/s　(2)6 N　(3) m/s

多过程问题的解题技巧

(1)“合”——初步了解全过程，构建大致的运动图景。

(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个过程的规律。

(3)“合”——找到子过程的联系，全过程或分过程解题。

考法2　涉及弹簧(或橡皮绳)类的能量守恒问题　

[例2]　如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧轻绳与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时A到C点的距离为L＝1 m，现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，A将弹簧压缩到最短后又恰好能回到C点。已知重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：

(1)A向下运动刚到C点时的速度大小；

(2)弹簧的最大压缩量；

(3)弹簧的最大弹性势能。

[解析]　(1)A从开始向下运动至刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒定律可得：

μ·2mgcos θ·L＝×3mv02－×3mv2＋2mgLsin θ－mgL

解得：v＝2 m/s。

(2)对A、B组成的系统，在A将弹簧压缩到最大压缩量，又返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即：

×3mv2－0＝μ·2mgcos θ·2x

其中x为弹簧的最大压缩量

解得：x＝0.4 m。

(3)设弹簧的最大弹性势能为Epm

由能量守恒定律可得：

×3mv2＋2mgxsin θ－mgx＝μ·2mgcos θ·x＋Epm

解得：Epm＝6 J。

[答案]　(1)2 m/s　(2)0.4 m　(3)6 J

涉及弹簧的能量问题的解题方法

两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：

(1)能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。

(2)如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时物体速度相同。

(3)当水平弹簧处于原长状态时，系统内某一端的物体具有最大速度。　　

考法3　能量守恒定律与图像结合的问题　

[例3]　(多选)一质量为m的小球以初动能Ek0从地面竖直向上抛出，已知运动过程中受到恒定阻力f＝kmg作用(k为常数且满足0<k<1)。如图所示图像中两条图线分别表示小球在上升过程中动能和势能与其上升高度之间的关系(以地面为零势能面)，h0表示上升的最大高度。则由图可知，下列结论正确的是(　　)

A．小球的最大势能E1＝

B．小球上升的最大高度h0＝

C．小球落地时的动能Ek＝

D．在h1处，小球的动能和势能相等，且h1＝

[解析]　因小球上升的最大高度为h0，由题图可知其最大势能为E1＝，又E1＝mgh0，得h0＝，A项错误，B项正确；由题图可知，小球上升过程中克服阻力做功为W＝Ek0－，因小球所受阻力恒定，且上升和下落高度相等，则小球下落过程中克服阻力做功为W＝Ek0－，则小球落地时的动能为Ek＝E1－W＝－＝Ek0，C项错误；在h1处，小球的动能和势能相等，则有Ek0－(mg＋f)h1＝mgh1，解得h1＝，D项正确。

[答案]　BD

 [集训冲关]

1.(2017·全国卷Ⅲ)如图，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为(　　)

A.mgl　　　　　　　 　B.mgl

C.mgl   D.mgl

解析：选A　QM段绳的质量为m′＝m，未拉起时，QM段绳的重心在QM中点处，与M点距离为l，绳的下端Q拉到M点时，QM段绳的重心与M点距离为l，此过程重力做功WG＝－m′g＝－mgl，将绳的下端Q拉到M点的过程中，由功能关系，可知外力做功W＝－WG＝mgl，可知A项正确，B、C、D项错误。

2.如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点相切，半圆形轨道的半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C(不计空气阻力)。求：

(1)物体在A点时弹簧的弹性势能；

(2)物体从B点运动至C点的过程中产生的内能。

解析：(1)设物体在B点的速度为vB，所受弹力为FNB，则有

FNB－mg＝m

又FNB＝FNB′＝8mg

由能量守恒定律可知物体在A点时弹簧的弹性势能

Ep＝mvB2＝mgR。

(2)设物体在C点的速度为vC，由题意可知mg＝m

物体由B点运动到C点的过程中，由能量守恒定律得

Q＝mvB2－

解得Q＝mgR。

答案：(1)mgR　(2)mgR

3.如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离lAB＝4 m。当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量lBC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点与A点的距离lAD＝3 m。挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；

(2)弹簧的最大弹性势能Epm。

解析：(1)物体在D点与开始的位置A点相比：

动能减少ΔEk＝mv02＝9 J

重力势能减少ΔEp＝mglADsin θ＝36 J

机械能减少ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝45 J

减少的机械能用于克服摩擦力做功，即

Wf＝Ffl＝45 J，而路程l＝lAB＋2lBC＋lAB－lAD＝5.4 m，

则Ff＝≈8.33 N

而Ff＝μmgcos θ，解得μ≈0.52。

(2)物体由A点到C点的过程：

动能减少ΔEk′＝mv02＝9 J

重力势能减少ΔEp′＝mglACsin θ＝50.4 J

克服摩擦力做功

Wf′＝FflAC≈35 J

由功能关系得

Epm＝ΔEk′＋ΔEp′－Wf′＝24.4 J。

答案：(1)0.52　(2)24.4 J