2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第4讲　函数及其表示




1．函数
(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
(2)在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
(4)理解函数的单调性、最大(小)值及几何意义，了解函数的奇偶性的含义．
(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
2．指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景．
(2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．
(4)体会指数函数是一类重要的函数模型．
3．对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用．
(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数2,10，的对数函数的图象．
(3)体会对数函数是一类重要的函数模型．
(4)了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
4．幂函数
(1)了解幂函数的概念．
(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化规律．
5．函数与方程
结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
6．函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况

年份
考查内容
分值
2014
第5题　函数的奇偶性的判定
第12题　函数的零点(结合导数)
第15题　分段函数、解不等式
5分
5分
5分
2015
第10题　分段函数求值
第12题　图象的对称性、求值
5分
5分
2016
第8题　幂、指数、对数比较大小
第9题　函数图象(结合导数)
5分
5分
2017
第8题　函数图象(结合奇偶性)
第9题　单调性、对称性
5分
5分
2018
第12题　分段函数、不等式
第13题　已知函数值求参数
5分
5分
2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况

年份
考查内容
分值
2014
第11题　已知单调性求参数
第15题　奇偶性、对称性应用
5分
5分
2015
第12题　奇偶性与单调性应用
第13题　求函数解析式中参数值
5分
5分
2016
第10题　同一函数问题
第12题　函数图象的对称性质
5分
5分
2017
第8题　复合函数的单调性
第14题　奇偶性、求值
5分
5分
2018
第3题　函数图象
第12题　函数的性质，求值
5分
5分

2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ的10套试题直接考查本部分内容的试题共21道，除2014年卷Ⅰ考查了3道，占15分，其他各套都考查了2道，占10分．(以导数为主的解答题结合了函数的知识，但没有统计在内)
函数是每年高考的必考内容，常以客观题的形式出现，主要考查函数的概念，分段函数的求值、求参数范围；函数的奇偶性、单调性及其应用；指数、对数函数的性质及应用，函数的零点等内容．容易题、中等难度试题及较难试题都有出现．

函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了高中数学的全过程，是中学数学与高等数学的结合点，是进一步学习高等数学的重要基础．在复习本部分知识时，要注意如下方面：
1．加强函数概念的理解，会求一些简单函数的定义域，能够利用解析式求函数的值，要特别注意加强对分段函数的理解，加强函数与方程、分类讨论及数形结合等思想方法的应用意识．
2．理解函数的单调性、奇偶性的定义，切实掌握判断函数的单调性、奇偶性的方法，强化函数性质的应用意识．熟练掌握利用函数性质解决求函数最值、求函数零点、求参数范围及解“函数”不等式等相关问题．
3．在复习幂、指数、对数函数时，要坚持“定义(概念)→解析式→图象→性质”这条主线．要注意掌握指数、对数的基本运算．要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及其图象变换，加强函数图象的应用意识．
4．对函数的零点及方程根的复习，要理解函数的零点、方程的实根和函数与x轴交点的横坐标的等价性，掌握零点的存在性定理，能通过两函数图象的交点个数来判断方程零点的个数．
函数是传统的学习内容，对这一部分的复习历来师生都十分重视，由于导数的引入，对函数的复习的要求就有所变化，因为导数是研究函数强有力的工具，有些问题在导数中研究变得更加轻松(如函数的单调性)，根据全国卷高考对本单元的要求，在复习时，要适当控制难度．

第4讲　函数及其表示
　　　　　　　　　　　


1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

知识梳理
1．函数的概念
(1)给定两个非空的　数集　A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中　任何一个　数x，在B中都有　唯一　确定的数y与之对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作　y＝f(x)，x∈A　，此时的x叫做自变量，集合A叫做函数的　定义域　，集合C＝{f(x)|x∈A}叫做函数的　值域　且CB.
(2)函数有三个要素：　定义域　、　值域　和　对应关系　.
2．函数的表示
列表法：用　表格　的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．
图象法：用　图象　把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法．
解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的　解析式　表示出来，这种方法称为解析法．
3．分段函数
分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的　对应法则　的函数称为分段函数．
4．映射的概念
如果两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的　每一个　元素，B中总有　唯一确定　的元素y与之对应，就称这种对应是从集合A到集合B的映射．

1．函数是一种特殊的映射，映射不一定是函数．从A到B的映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 　并集　，其值域等于各段函数的值域的 　并集　.
热身练习
1．考察下列图象：


其中能够作为函数图象的是　A，B，C　.
　 抓住函数的定义进行判断．对每一个x，都有唯一确定的y与之对应才构成函数关系，表现在图象上为在定义域范围内与x轴垂直的直线与图象有且只有1个交点，由此可知，A，B，C都能作为函数图象，D不能作为函数图象．
2．(经典真题)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝　－2　.
　 由f(x)＝ax3－2x可得f(－1)＝－a＋2＝4，
所以a＝－2.
3．下列函数中，f(x)与g(x)表示同一函数是(D)
A．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
　 A的定义域不同，B的值域不同，C的对应法则不同，只有D的定义域、值域、对应法则都相同．
4．设f(x)＝则f[f(－2)]＝(C)
A．－1 B.
C. D.
　 因为－2＜0，所以f(－2)＝2－2＝＞0，
所以f()＝1－＝1－＝.
5．已知函数满足f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(B)
A．－2 B．6
C．1 D．0
　 (方法一)令x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2－3，
所以f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
(方法二)f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
所以f(x)＝x2＋2x－2，所以f(2)＝22＋2×2－2＝6.
(方法三)令x－1＝2，则x＝3，所以f(2)＝32－3＝6.
　　　　　　　　　　　


求函数的定义域
(1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
(2)设函数f(x)＝ln，则函数g(x)＝f()＋f()的定义域为____________．
(1)要使f(x)有意义，则
解得x>－1且x≠1.
故函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
(2)要使f(x)＝ln有意义，则>0，
所以－1 则函数g(x)＝f()＋f()的定义域为
所以x∈(－2，－1)∪(1,2)．
(1)C　(2)(－2，－1)∪(1,2)
求定义域的基本方法：
①若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集；
②已知函数f(x)的定义域为D，则f[g(x)]的定义域为满足g(x)∈D的x的取值范围．

1．(1)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是(D)
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
(2)(2018·重庆模拟)已知函数f(x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域是(A)
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－1,2] D．(－2,1]
(1)要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0，
即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.
故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
(2)因为f(x)的定义域为[－1,2]，
要使函数y＝f(x)＋f(－x)有意义，则
解得－1≤x≤1.
所以y＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1,1]．
求函数的解析式
(1)(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
(2)已知f(＋1)＝＋，则f(x)＝___________________________.
(1)先利用函数解析式将f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2的左边表示出来，再化简右边，然后利用多项式相等的条件求解即可．
因为f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，
所以f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)
＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b
＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得
因为a≠0，所以由②得a＝－2b，
代入①式得b＝1，a＝－2.
(2)令t＝＋1，则x＝(t≠1)，于是
f(t)＝＋＝1＋(t－1)2＋3(t－1)
＝t2＋t－1(t≠1)．
所以f(x)＝x2＋x－1(x≠1)．
(1)－2　1　(2)x2＋x－1(x≠1)
求函数解析式的常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

2．(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x＋1)＝　x2＋2x(x≥0)　.
(2)已知函数f(x)是一次函数，且f(8)＝15，f(14)，f(5)，f(2)成等比数列，则f(x)＝　2x－1　.　　 (1)设u＝＋1≥1，则x＝(u－1)2，
所以f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x(x≥0)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由f(8)＝15，得8a＋b＝15，①
又f(14)，f(5)，f(2)成等比数列，
所以[f(5)]2＝f(2)·f(14)，
得(5a＋b)2＝(14a＋b)(2a＋b)3a2＋6ab＝0.
因为a≠0，所以a＝－2b，②
由①②得a＝2，b＝－1，所以f(x)＝2x－1.
分段函数
(2017·山东卷)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f()＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
先由f(a)＝f(a＋1)求出a，再求f()．求f(a)和f(a＋1)时，将a，a＋1代入分段函数的哪一个表达式中？这就必须依据分段函数的定义域对a进行分类讨论．
若01，由f(a)＝f(a＋1)得
＝2(a＋1－1)，所以a＝，
所以f()＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
若a≥1，a＋1>1，由f(a)＝f(a＋1)得
2(a－1)＝2(a＋1－1)，此方程无解．
综上，f()＝6.
C
(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．
(2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式，自变量的值不确定时，要分类讨论．

3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
(方法一：利用分段函数分段求解)
①当即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)，
即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)，
即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．
(方法二：借助函数图象求解)
因为f(x)＝
所以函数f(x)的图象如图所示．

由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，
故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)＜f(2x)．此时－1＜x＜0.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．

1．函数的定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，都必须在定义域上进行，求函数的定义域，主要掌握以下两种类型：
(1)由解析式给出的函数，根据其定义域求出使函数有意义的自变量的取值范围．其主要依据是：
①分式的分母不为0；
②偶次方根的被开方数不小于0；
③对数的真数大于0；
④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1.
(2)复合函数f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为D，则满足g(x)∈D的x的集合是f[g(x)]的定义域．
2．求函数的解析式主要掌握如下两种方法：
(1)给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(2)换元法求解析式，已知f[h(x)]＝g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元求解．但用换元法时，要注意新元的范围．
3．分段函数问题要分段求解．如求分段函数f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系，当不能确定时，要注意分类讨论．