2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第10讲　对数与对数函数

第10讲　对数与对数函数

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化为常用对数或自然对数；了解对数在简化运算中的作用．

2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象．

3．体会对数函数是一种重要的函数模型．

4．了解指数函数与对数函数互为反函数．

知识梳理

1．对数

(1)对数的定义：

如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作　b＝logaN　，其中　a　叫做对数的底数，　N　叫做对数的真数．

(2)指数式与对数式的关系：

ab＝N　logaN＝b　(a>0，a≠1，N>0)．

(3)几个常用等式：

①loga1＝　0　；②logaa＝　1　；③alogaN＝　N　.

(4)对数运算性质：

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝　logaM＋logaN　；

②loga＝　logaM－logaN　；

③logaMn＝　nlogaM　.

(5)换底公式：logaN＝　　(a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)．

2．对数函数

(1)对数函数的定义

函数　y＝logax(a>0，且a≠1)　叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是　(0，＋∞)　.

(2)对数函数的图象

(3)对数函数的性质：

①定义域：　(0，＋∞)　；

②值域：　(－∞，＋∞)　；

③图象过定点　(1,0)　，即x＝　1　时，y＝　0　.

④当　a>1　时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数；

当　0<a<1　时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数．

3．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的关系

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为　反函数　，它们的图象关于直线　y＝x　对称．

1．换底公式的两个重要结论

(1)logab＝；　　(2)logambn＝logab.

其中a>0，且a≠1，b>0，b≠1，m，n∈R.

2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与y＝logx的图象关于x轴对称．

3．对数函数y＝logax的底数a>1时，a越大，增长越慢，图象在x轴上方越靠近x轴(x>1时)；0<a<1时，a越小，图象在x轴下方越靠近x轴(x>1)．

热身练习

1．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝　　.

　 因为4a＝2，所以a＝log42＝log44＝，

又因为lg x＝a，所以lg x＝，所以x＝10＝.

2．(经典真题)lg＋2lg 2－()－1＝　－1　.

　 lg＋2lg 2－()－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2

＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.

3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(A)

A．log2x  B.

C．logx  D．2x－2

　 指数函数y＝ax的反函数是f(x)＝logax，

又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.

4．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象大致是(A)

　 因为a＞1，所以0＜＜1，所以函数y＝a－x单调递减，y＝logax单调递增，故选A.

5．当x∈(－1,0)时，f(x)＝log2a(x＋1)>0，则a的取值范围为(A)

A．(0，)  B．(，)

C．(，＋∞)  D．(，1)

　 当－1<x<0时，0<x＋1<1，

由f(x)＝log2a(x＋1)>0，知0<2a<1，

所以0<a<.

 比较大小

(2018·天津卷)已知a＝log3，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c  B．b>a>c

C．c>b>a  D．c>a>b

因为c＝＝log35，a＝log3，

又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，

所以log35>log3>log33＝1，所以c>a>1.

因为y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，

所以<0＝1，即b<1.所以c>a>b.

D

对数函数值大小比较一般有三种方法：

①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不是同底，先化为同底；

②“中间量”法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”；

③图象法，根据图象观察得出大小关系．

1．(经典真题)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(D)

A．a>c>b  B．b>c>a

C．c>b>a  D．c>a>b

a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，

由对数函数的图象和性质可知，log52<log32，

所以b<a<c.

 对数函数的图象与性质

(经典真题)当0<x≤，4x<logax，则a的取值范围是

A．(0，)  B．(，1)

C．(1，)  D．(，2)

(方法一)画出指数函数与对数函数的图象(如图)，

当对数函数经过(，2)时，

所对应的对数函数为y＝logx，

当0<x≤时，4x<logax，

根据对数函数y＝logax的底数的变化特点可知，

<a<1.

(方法二)若a>1，则logax<0不满足，所以排除C，D，

当0<a<1时，令f(x)＝4x－logax，

问题转化为求a的范围，使f(x)在(0，]的最大值小于0.

因为f(x)在(0，]上单调递增，

所以f(x)max＝f()＝4－loga<0，

所以loga>2loga>logaa2，

因为0<a<1，所以a2>，所以<a<1.

B

本题深入地考查了对数函数的图象及其性质，方法一充分利用了数形结合的思想方法，解题的关键是明确对数的底数变化是如何影响对数函数图象的．方法二，通过构造函数，将其转化为函数的最值问题，充分利用了函数的性质及化归与转化的思想方法．

2．已知a>0，且a≠1，若关于x的不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为(B)

A．[，]  B．[，)

C．(1，]  D．(1，]

　　 不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足：

解得≤a<.

 对数函数的应用

已知函数f(x)＝loga(3－ax)(其中a>0，a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．

因为a>0，且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)为减函数，x∈[0,2]时，t(x)min＝3－2a，

因为x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，

所以3－2a>0，所以a<.

又a>0，且a≠1，所以a∈(0,1)∪(1，)．

(1)与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关．对于函数y＝logaf(x)，若定义域为R(即对任意x都有意义)，则f(x)>0在R上恒成立；若函数y＝logaf(x)的值域为R，则f(x)能取遍所有的正实数．

(2)本题中f(x)恒有意义，即t(x)＝3－ax在x∈[0,2]上的最小值t(x)min>0.

3．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(其中a>0，a≠1)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

令t(x)＝3－ax，则t(x)为减函数，

又f(x)＝logat(x)为减函数，所以a>1.

当x∈[1,2]时，t(x)min＝3－2a，

f(x)max＝f(1)＝loga(3－a)，

如果存在满足条件的a，则a需满足：

即

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

1．对数的定义揭示了指数式与对数式的内在联系，为对数的计算、化简、证明等问题提供了有效方法．

2．对数的单调性是解决含有对数式的各种问题的最常用知识，应熟练掌握其应用．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)首先要研究函数的定义域；(2)要注意对数底数的取值范围．

3．比较幂、对数大小的常用方法：

(1)利用单调性；(2)与“中间量”比较；(3)利用数形结合．

在比较对数值的正负时，掌握如下结论有利于解题．

当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0；

当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0.

4．处理指数、对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，充分运用数形结合的思想方法进行求解．特别要注意互为反函数的两函数的图象关于直线y＝x对称．