2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第20讲导数的实际应用及综合应用

第20讲　导数的实际应用及综合应用　　　　　　　　　　　 1．掌握利用导数解决实际问题的基本思路，能利用导数解决简单的实际问题中的优化问题．2．能利用导数解决函数、方程、不等式有关的综合问题． 知识梳理1．优化问题(1)社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的基本思路上述解决问题的过程是一个典型的数学建模过程．2．导数的综合问题在高考的解答题中，每年都要设计一道函数的综合题，问题常常含有指数式、对数式、三角函数式等超越式，除了与切线、单调性、极值、最值等内容的综合，还常与方程、不等式等进行综合，解答这样的综合问题，只依据函数的知识无法求解，需要运用导数的方法进行解决．运用导数的方法研究方程、不等式的基本思路是构造函数，通过导数研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式的成立情况及方程实根的个数． 热身练习1．已知某商品生产成本C与产量q的关系为C＝100＋4q，单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q.(1)利润L与产量q的函数关系为　L＝－q2＋21q－100(0<q<200)　；(2)产量q＝　84　时，利润L最大？　 (1)因为收入R＝q·p＝q(25－q)＝25q－q2.所以利润L＝R－C＝(25q－q2)－(100＋4q)＝－q2＋21q－100(0<q<200)．(2)L′＝－q＋21.令L′＝0，即－q＋21＝0，得q＝84.当q∈(0,84)时，L′>0；当q∈(84,200)时，L′<0.因此，q＝84是函数L的极大值点，也是最大值点．所以产量为84时，利润L最大．2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(C)A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0　 A项，因为函数f(x)的值域为R，所以一定存在x0∈R，使得f(x0)＝0成立．所以A正确．B项，f(－－x)＋f(x)＝(－－x)3＋a(－－x)2＋b(－－x)＋c＋x3＋ax2＋bx＋c＝－＋2c，f(－)＝(－)3＋a(－)2＋b(－)＋c＝－＋c，因为f(－－x)＋f(x)＝2f(－)，所以函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(－，f(－))，故y＝f(x)的图象是中心对称图形．B正确．C项，f′(x)＝3x2＋2ax＋b是二次函数，f(x)有极小值点x0，必定有一个极大值x1，若x1<x0，则f(x)在区间(－∞，x0)上不单调递减．C错误．D项，若x0是f(x)的极值点，则一定有f′(x0)＝0.D正确．　　　　　　　　　　　   实际应用问题(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)该公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度． (1)根据M，N两点坐标求得a，b的值；(2)根据导数先求切线方程，再求f(t)，最后利用导数求最值． (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y＝，得解得(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，则点P的坐标为(t，)．设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝－，则l的方程为y－＝－(x－t)，由此得A(，0)，B(0，)．故f(t)＝＝，t∈[5,20]．②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.令g′(t)＝0，解得t＝10.当t∈(5,10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米． 利用导数解决生活中的实际应用题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．1．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． (1)因为蓄水池的侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．又由r>0，h>0，可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时，h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．  导数的综合问题 (经典真题)设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围． (1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x，f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－)(x－1)．①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1<a<－1.②若<a<1，则>1，故当x∈(1，)时，f′(x)<0，f(x)在(1，)上单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)上单调递增．所以存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f()<，而f()＝aln＋＋>，所以不合题意，应舍去．③若a>1，则f(1)＝－1＝<.综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)． 本题主要考查导数的几何意义，函数的单调性，不等式有解问题的处理．考查函数思想、转化与化归的思想和分类讨论的思想，综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点． (1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)上单调递增，在(3－2，3＋2)上单调递减．(2)证明：因为x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6(a－)2－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．1．利用导数解决优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)根据得出的数学结果，检验是否符合问题的实际意义并作答．2．导数综合问题的求解往往是全卷最难的问题，具体求解时，首先要认真审题，审清题目的条件是什么，求解或求证的结论是什么，明确解题目标；第二要合理联想，根据所求，联想相应的处理方法，如证明不等式，常常可以考虑构造函数，恒成立问题，可以考虑将参数分离出来，再进行转化等；第三要细心验算，准确作答，在解答过程中，要注意化归与转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法的运用．