2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第22讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第22讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式　　　　　　　　　　　 1．理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式．2．能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值． 知识梳理1．同角三角函数的基本关系式平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　；商数关系：　tan α＝　.2．诱导公式公式一：(其中k∈Z)sin(2kπ＋α)＝　sin α　，cos(2kπ＋α)＝　cos α　，tan(2kπ＋α)＝　tan α　.公式二：sin(－α)＝　－sin α　，cos(－α)＝　cos α　，tan(－α)＝　－tan α　.公式三：sin(π－α)＝　sin α　，cos(π－α)＝　－cos α　，tan(π－α)＝　－tan α　.公式四：sin(π＋α)＝　－sin α　，cos(π＋α)＝　－cos α　，tan(π＋α)＝　tan α　.公式五：sin(－α)＝　cos α　，cos(－α)＝　sin α　.公式六：sin(＋α)＝　cos α　，cos(＋α)＝　－sin α　.1．同角关系的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α.(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.2．诱导公式的记忆(1)2kπ＋α (k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(2)±α，±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．可采用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆． 热身练习1．已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝(A)A．－2  B．2C.  D．－　 因为cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－2.2．α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(D)A.   B．－C.  D．－　 (方法一)因为tan α＝－，所以＝－，所以cos α＝－sin α，代入sin2α＋cos2α＝1得sin α＝±，又α是第四象限角，所以sin α＝－.(方法二)因为tan α＝－，且α是第四象限角，所以可设y＝－5，x＝12，所以r＝＝13，所以sin α＝＝－.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(A)A．－  B．－C.  D.　 因为sin α－cos α＝，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.4．若sin(π＋α)＝－，则cos(π－α)＝(A)A．－  B．－C.  D.　 因为sin(π＋α)＝－sin α＝－，所以cos(－α)＝－sin α＝－.5．(2016·四川卷)sin 750°＝　　.　 sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝.　　　　　　　　　　　   诱导公式的应用(1)已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为 　　　　.(2)cos(－π)的值为____________． (1)原式＝＝tan α.根据三角函数的定义得tan α＝－.故原式的值为－.(2)cos(－π)＝cos＝cos(2×2π＋)＝cos＝cos(2π－)＝cos＝.　　 (1)－　　(2)　　 (1)应用诱导公式时，需要准确记忆诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键．(2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负——脱周——化锐”．1．(1)(2018·深圳一模)已知sin(－x)＝，则sin(－x)＋sin2(－＋x)的值为(A)A.   B.C．－  D．－(2)sin(－π)的值为　－　. (1)(方法一：采用角的配凑)原式＝sin[3π＋(－x)]＋sin2[－－(－x)]＝－sin(－x)＋cos2(－x)＝－sin(－x)＋1－sin2(－x)＝－＋1－＝.(方法二：采用换元法)设－x＝θ，则sin θ＝，x＝－θ，所以原式＝sin(3π＋θ)＋sin2(－－θ)＝－sin θ＋cos2θ＝－sin θ＋1－sin2θ＝－＋1－＝.(2)sin(－π)＝－sinπ＝－sin(2π＋π)＝－sinπ＝－sin(π－)＝－sin＝－.  同角三角关系的应用已知tan α＝，则：(1)＝________；(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝________. (1)＝＝＝－.(2)　sin2α＋sin αcos α＋2＝3sin2α＋sin αcos α＋2cos2α＝＝＝＝. (1)－　(2) (1)齐次式(或可化为齐次式)常转化为正切进行处理．(2)注意“1”的运用，如1＝sin2α＋cos2α或1＝(sin2α＋cos2α)2等．2．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(D)A．－  B．－C.  D. 因为cos 2θ＝＝，又因为tan θ＝－，所以cos 2θ＝＝.  同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用　　已知sin α＋cos α＝(<α<π)．求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin3(－α)＋cos3(＋α)． 因为sin α＋cos α＝，①将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝，故2sin αcos α＝－，又<α<π，所以sin α>0，cos α<0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－(－)＝，所以sin α－cos α＝.(2)sin3(－α)＋cos3(＋α)＝cos3α－sin3α＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos αsin α＋sin2α)＝－×(1－)＝－. (1)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可“知一求二”，即已知其中一个式子的值，可求出另外两个式子的值．(2)注意符号的选取，如由sin α＋cos α求sin α－cos α时，到底取“＋”还是取“－”要根据α的取值范围确定．3．已知sin(π－α)＋sin(＋α)＝，α∈(0，π)，求tan α的值． 条件可化为sin α＋cos α＝，①平方得sin αcos α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.因为α∈(0，π)，sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α＝，②联立①②得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－.1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的判断，求任意角的三角函数值的问题，都可通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，其步骤是“去负——脱周——化锐”，从而求出值来．2．掌握一些特殊角的三角函数值，要做到“见角知值，见值知角”，如：角α0°30°45°60°90°120°150°180°270°角α的弧度数0πsin α010－1cos α10－－－10tan α01不存在－－0不存在3.同角关系的主要应用(1)已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．要特别注意符号的选取．(2)关于sin α，cos α的齐次式可化为正切处理．(3)对于sin αcos α，sin α＋cos α，sin α－cos α，借助方程思想可知一求二．