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2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第25讲三角函数的图象与性质(一)
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第25讲 三角函数的图象与性质(一) 1.熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值.2.会判断简单函数的奇偶性,会求简单函数的单调区间及其周期. 知识梳理1.用五点法作正弦、余弦函数的简图(1)y=sin x图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为:(0,0), (,1) ,(π,0), (,-1) ,(2π,0).(2)y=cos x图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为:(0,1),(,0), (π,-1) ,(,0), (2π,1) .2.三角函数的图象与性质 (其中k∈Z)函 数y=sin xy=cos xy=tan x图 象定义域RR{x≠kπ+,k∈Z} 值 域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ-, 2kπ+][2kπ-π,2kπ](kπ-, kπ+)递减区间[2kπ+, 2kπ+][2kπ,2kπ+π] 最大值x=2kπ+时,ymax=1x=2kπ时,ymax=1 最小值x=2kπ+时,ymin=-1x=(2k+1)π时,ymin=-1 热身练习1.函数f(x)=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是图中的(B) 由五点法知图象应经过(0,1),(,0),(π,1),(,2),(2π,1),可知应选B.2.函数y=的定义域为(A)A.{x|x≠2kπ,k∈Z} B.{x|x≠(2k+1)π,k∈Z}C.{x|x≠2kπ+,k∈Z} D.{x|x≠2kπ+,k∈Z} 由cos x≠1,得x≠2kπ,k∈Z,故定义域为{x|x≠2kπ,k∈Z}.3.当x∈[-,]时,函数y=sin x+cos x的值域为(D)A.[-1,1] B.[-,1]C.[-2,2] D.[-1,2] y=2sin(x+),-≤x+≤,-≤sin(x+)≤1,所以-1≤y≤2.4.函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为 1 . f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin xcos φ+cos xsin φ-2sin φcos x=sin xcos φ-cos xsin φ=sin(x-φ)≤1.所以f(x)max=1.5.函数y=8cos x-2sin2x的最大值为 8 . y=-2(1-cos2x)+8cos x=2cos2x+8cos x-2,令cos x=t,-1≤t≤1,y=2t2+8t-2=2(t+2)2-10,故t=1时,ymax=8.
三角函数的定义域函数y=的定义域为____________. 由2sin x-1≥0,得sin x≥,即+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).故定义域为{x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}. {x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z} (1)求三角函数的定义域,常转化为解三角不等式和三角方程,可借助三角函数的图象来求解.(2)解简单三角不等式的步骤:如sin x>a.第一步,作出y=sin x的图象;第二步,作直线y=a,在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线y=a上方的图象;第三步,确定sin x=a的x值,写出解集.1.函数y=的定义域为 {x|x≠kπ+且x≠kπ+,k∈Z} . 由tan x-1≠0,得tan x≠1.所以x≠kπ+且x≠kπ+,k∈Z,故定义域为{x|x≠kπ+且x≠kπ+,k∈Z}. 三角函数的值域或最值求函数y=4-3sin2x-4cos x的值域,其中x∈[-,]. y=4-3sin2x-4cos x=4-3(1-cos2x)-4cos x=3cos2x-4cos x+1=3(cos x-)2-.因为x∈[-,],所以cos x∈[-,1].而∈[-,1],所以当cos x=时,ymin=-.当cos x=-时,ymax=3×(-)2-4×(-)+1=.所以所求函数的值域为[-,]. 三角函数的值域或最值问题常考的主要有两种类型,一种是化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ),另一种是化为关于sin x,cos x或tan x的二次函数.第一种类型可利用三角函数的性质及不等式的性质求得,第二种类型可换元转化为二次函数,借助二次函数的性质求得.不管哪种类型,都要注意角的范围.2.(2017·北京卷)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈[-,]时,f(x)≥-. (1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以sin(2x+)≥sin(-)=-,所以当x∈[-,]时,f(x)≥-. 三角函数的值域或最值的应用在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为____________. 要求AB+2BC的最值,首先要将其表达式求出来.在△ABC中,∠B和边AC是确定的,AB,BC是变化的,但∠C一定,则边AB,BC就确定了,可见,AB+2BC随着∠C的变化而变化,从而可建立AB+2BC关于∠C的函数关系. 在△ABC中,由正弦定理得=2R==2,所以AB+2BC=2sin C+4sin(-C)=4sin C+2cos C=2sin(C+φ),C∈(0,),所以AB+2BC的最大值为2. 2 利用三角函数的最值解决有关问题的一般步骤是:(1)建立目标函数;(2)求最值;(3)作答.其中关键是建立目标函数,而建立目标函数的关键是选取适当的角变量,建立目标函数后,再根据表达式的特点求其最值.3.如图,半径为1的扇形的圆心角为,一个矩形的一边AB在扇形的一条半径上,另一边的两个端点C,D分别在弧和另一条半径上,求此矩形ABCD的最大面积. 连接OC,设∠BOC=α,0<α<,设矩形ABCD的面积为S,则BC=sin α,在△OAD中,=tan,所以OA=sin α,所以AB=OB-OA=cos α-sin α,所以S=AB·BC=(cos α-sin α)sin α=cos αsin α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-=sin(2α+)-.故α=时,Smax=.故矩形ABCD的最大面积为.1.求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式,常借助三角函数的图象来求解.2.求三角函数的值域(最值)常用的几种类型如下:(1)形如y=asin x+bcos x+k的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);(2)形如y=asin2x+bsin x+k的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).换元法是求三角函数最值的重要方法,通过换元可将三角函数的最值化归为代数函数的最值,这时要特别注意新元的范围.3.利用三角函数的最值解决有关问题时,关键是引入角α,建立目标函数,然后根据目标函数的特点进行求解.
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