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    2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第25讲三角函数的图象与性质(一)

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    25 三角函数的图象与性质()            1熟悉基本三角函数的图象定义域值域奇偶性单调性周期性及其最值2会判断简单函数的奇偶性会求简单函数的单调区间及其周期 知识梳理1用五点法作正弦、余弦函数的简图(1)ysin x图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为(0,0) (1) (π0) (,-1) (0)(2)ycos x图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为(0,1)(0) (π,-1) (0) (1) .2三角函数的图象与性质 (其中kZ) ysin xycos xytan x 定义域RR{xkπkZ}    [1,1][1,1]R周期性π奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ  2kπ][2kππ2kπ](kπ  kπ)递减区间[2kπ  2kπ][2kπ2kππ] 最大值x2kπ时,ymax1x2kπ时,ymax1 最小值x2kπ时,ymin=-1x(2k1)π时,ymin=-1   热身练习1函数f(x)1sin xx[0,2π]的大致图象是图中的(B)  由五点法知图象应经过(0,1)(0)(π1)(2)(1),可知应选B.2函数y的定义域为(A)A{x|x2kπkZ}  B{x|x(2k1)πkZ}C{x|x2kπkZ}  D{x|x2kπkZ}  cos x1,得x2kπkZ故定义域为{x|x2kπkZ}3x[]函数ysin xcos x的值域为(D)A[1,1]  B[1]C[2,2]  D[1,2]  y2sin(x),-x,-sin(x)1,所以-1y2.4函数f(x)sin(xφ)2sin φcos x的最大值为 1 .  f(x)sin(xφ)2sin φcos xsin xcos φcos xsin φ2sin φcos xsin xcos φcos xsin φsin(xφ)1.所以f(x)max1.5函数y8cos x2sin2x的最大值为 8 .    y=-2(1cos2x)8cos x2cos2x8cos x2cos xt,-1t1y2t28t22(t2)210t1时,ymax8. 
                  三角函数的定义域函数y的定义域为____________ 2sin x10,得sin x2kπx2kπ(kZ)故定义域为{x|2kπx2kπkZ} {x|2kπx2kπkZ} (1)求三角函数的定义域,常转化为解三角不等式和三角方程,可借助三角函数的图象来求解(2)解简单三角不等式的步骤:如sin x>a.第一步,作出ysin x的图象;第二步,作直线ya,在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线ya上方的图象;第三步,确定sin xax值,写出解集1函数y的定义域为 {x|xkπxkπkZ} . tan x10,得tan x1.所以xkπxkπkZ故定义域为{x|xkπxkπkZ}  三角函数的值域或最值求函数y43sin2x4cos x的值域其中x[] y43sin2x4cos x43(1cos2x)4cos x3cos2x4cos x13(cos x)2.因为x[],所以cos x[1][1],所以当cos x时,ymin=-.cos x=-时,ymax3×()24×()1.所以所求函数的值域为[] 三角函数的值域或最值问题常考的主要有两种类型,一种是化为yAsin(ωxφ)yAcos(ωxφ)yAtan(ωxφ),另一种是化为关于sin xcos xtan x的二次函数第一种类型可利用三角函数的性质及不等式的性质求得,第二种类型可换元转化为二次函数,借助二次函数的性质求得不管哪种类型,都要注意角的范围2(2017·北京卷)已知函数f(x)cos(2x)2sin xcos x.(1)f(x)的最小正周期(2)求证x[]f(x). (1)f(x)cos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)所以f(x)的最小正周期Tπ.(2)证明:因为-x,所以-2x所以sin(2x)sin()=-所以当x[]时,f(x).  三角函数的值域或最值的应用ABCB60°ACAB2BC的最大值为____________ 要求AB2BC的最值,首先要将其表达式求出来ABC中,B和边AC是确定的,ABBC是变化的,但C一定,则边ABBC就确定了,可见,AB2BC随着C的变化而变化,从而可建立AB2BC关于C的函数关系 ABC中,由正弦定理得2R2所以AB2BC2sin C4sin(C)4sin C2cos C2sin(Cφ)C(0)所以AB2BC的最大值为2. 2 利用三角函数的最值解决有关问题的一般步骤是:(1)建立目标函数;(2)求最值;(3)作答其中关键是建立目标函数,而建立目标函数的关键是选取适当的角变量,建立目标函数后,再根据表达式的特点求其最值3如图半径为1的扇形的圆心角为一个矩形的一边AB在扇形的一条半径上另一边的两个端点CD分别在弧和另一条半径上求此矩形ABCD的最大面积 连接OC,设BOCα0<α,设矩形ABCD的面积为S,则BCsin αOAD中,tan,所以OAsin α所以ABOBOAcos αsin α所以SAB·BC(cos αsin α)sin αcos αsin αsin2αsin 2α(1cos 2α)sin 2αcos 2αsin(2α).α时,Smax.故矩形ABCD的最大面积为.1求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式常借助三角函数的图象来求解2求三角函数的值域(最值)常用的几种类型如下(1)形如yasin xbcos xk的三角函数化为yAsin(ωxφ)k的形式再求值域(最值)(2)形如yasin2xbsin xk的三角函数可先设sin xt化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函数可先设tsin x±cos x化为关于t的二次函数求值域(最值)换元法是求三角函数最值的重要方法通过换元可将三角函数的最值化归为代数函数的最值这时要特别注意新元的范围3利用三角函数的最值解决有关问题时关键是引入角α建立目标函数然后根据目标函数的特点进行求解

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