2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第32讲平面向量的数量积
展开第32讲 平面向量的数量积
1．理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义．
2．掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
知识梳理
1．两向量的夹角与垂直
已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则 ∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°) 叫做向量a，b的夹角，特别地，当a与b夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作 a⊥b .
2．向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量 |a|·|b|cos θ 叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ |a|·|b|cos θ .
规定0与任一向量的数量积为 0 .
3．a·b的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影．
设θ是向量a与b的夹角，则 |a|cos θ 叫做a在b方向上的投影， |b|cos θ 叫做b在a方向上的投影．
(2)a·b的几何意义：a·b等于a的长度 |a| 与b在a方向上的投影 |b|cos θ 的乘积．
4．向量数量积的性质
a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ.
(1)当a与b同向时，a·b＝ |a||b| ；当a与b反向时，a·b＝ －|a||b| ；特别地，a·a＝ a2＝|a|2 或|a|＝ .
(2)a·b＝0 a⊥b .
(3)cos θ＝ .
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ b·a (交换律)．
(2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (λ∈R)．
(3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
6．向量数量积的坐标表示
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 .
(2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝ x2＋y2 ，|a|＝ .
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ ，此时为两点间的距离公式．
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0 .
(5)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝ .
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．
2．平面向量数量积的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
热身练习
1．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(A)
A．－ B．0
C. D．3
因为a，b＝120°，所以a·b＝1×1×cos 120°＝－，
同理，b·c＝c·a＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－.
2．若a＝(4,2)，b＝(－4,3)，则a在b方向上的投影是(D)
A．－5 B.
C. D．－2
设a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，
所以a在b上的投影为
|a|cos θ＝＝＝＝－2.
3．已知a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)
A．－1 B．0
C．1 D．2
由题意可得a2＝2，a·b＝－3，
所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
4．(2018·北京卷)已知向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝ －1 .
因为a＝(1,0)，b＝(－1，m)，
所以ma－b＝(m＋1，－m)．
又a⊥(ma－b)，
所以a·(ma－b)＝0，
即m＋1＝0，解得m＝－1.
5．(2016·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为 .
由题意得|a|＝＝2，|b|＝＝2，
a·b＝1×＋×1＝2.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
向量的数量积、模
已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则：
(1)(2a－b)·(a＋3b)＝____________；
(2)|a＋b|＝__________.
因为|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，
所以a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×(－)＝－3.
(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2
＝8－15－27＝－34.
(2)|a＋b|＝
＝
＝＝.
(1)－34 (2)
(1)求平面向量的数量积的基本方法：
①利用定义；②利用坐标运算；③利用运算律．
(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
1．(1)(经典真题)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝ 2 .
(2)(经典真题)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b ＝(A)
A．1 B．2
C．3 D．5
(1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，
所以＝(1,2)，＝(－2,2)，
所以·＝1×(－2)＋2×2＝2.
(2)因为|a＋b|＝，所以a2＋2a·b＋b2＝10，①
又|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝6.②
①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1.
向量的夹角
(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
(方法一)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝＝＝，
解得λ＝.
(方法二)因为e1，e2是互相垂直的单位向量，故可将e1，e2作为两个单位正交基底，建立直角坐标系，
所以a＝e1－e2＝(，－1)，b＝e1＋λe2＝(1，λ)，
所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝－λ，
因为a与b的夹角为60°，
所以cos 60°＝＝，所以λ＝.
(1)本题考查向量的模、数量积的计算以及两个向量的夹角公式的应用，考查运算求解能力．
(2)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，它能实现模与数量积的转化，是求距离的常用方法．
2．(2018·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(A)
A. B.
C. D.
(方法一)因为|a＋b|＝|a－b|，
所以|a＋b|2＝|a－b|2，
所以a·b＝0，
又|a＋b|＝2|b|，所以|a＋b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，
所以|a|＝|b|，
所以cosa＋b，a＝＝＝＝，
所以a＋b与a的夹角为.
(方法二)设＝a，＝b，＝a＋b，
由|a＋b|＝|a－b|，知平行四边形OACB为矩形，
|a＋b|＝|a－b|＝2|b|知，
所以sina＋b，a＝＝，
所以a＋b与a的夹角为.
向量数量积的综合运用
(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B.
C. D.
先把，分别用基底，表示出来，再计算其数量积．
(方法一)如图，
由条件可知＝－，
＝＋＝＋
＝＋，
所以·＝(＋)·(－)
＝2－·－2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形，
所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，
所以·＝－－＝.
(方法二)以BC为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(0，)，B(－，0)，D(－，)，C(，0)，
由＝2，得(，－)＝2(xF，yF)，则F(，－)，
所以·＝(，－)·(1,0)＝.
B
(1)本题考查平面向量的基本定理、向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力．
(2)与几何背景相关的数量积计算问题，其基本思路有：①基向量法；②坐标法．
(3)当几何图形是特殊三角形或四边形时，一般采用坐标法，即通过建立直角坐标系的方法，将其转化为向量的坐标运算．
3．(2018·安徽模拟)在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∠DAB＝，点E，F分别在BC，DC边上，且＝2，＝，则·＝(C)
A．－ B．－1
C．2 D.
以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(4,0)，F(，)，E(5，)，
所以＝(5，)，＝(－，)，
所以·＝(5，)·(－，)
＝5×(－)＋×＝2.
1．平面向量a与b的数量积为a·b＝|a||b|cos θ，它是一个实数，而不是向量，其中θ是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0°≤θ≤180°.
2．计算数量积一般有三种方法：定义、坐标运算及利用运算律计算．
3．由向量的数量积的性质有|a|＝，cos θ＝，a·b＝0⇔a⊥b，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
4．由于向量有几何法和坐标法两种形式，它的运算也因为这两种表示方法而有两种：基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于根据问题的特点，灵活选择方法．
