2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第48讲空间几何体的表面积与体积

第48讲　空间几何体的表面积与体积

1．了解柱、锥、台及球的表面积和体积的计算公式．

2．通过对空间几何体的表面积与体积的计算，进一步理解简单几何体的结构特征．

知识梳理

1．侧面积与全面积

把柱、锥、台体的侧面沿着它们的一条侧棱(或母线)剪开后展开在一个平面内，展开图的面积是它们的侧面积．侧面积与底面积的和称为全面积或表面积．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3．空间几何体的表面积和体积公式

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2．几个与球有关的切、接的常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

3．球的截面的性质

(1)过球心的平面截球所得的截面是一个圆，称为球的大圆，不过球心的平面截球所得的截面也是圆，称为球的小圆．

(2)球的截面的性质：

①球的小圆圆心与球心连接的线段与小圆面　垂直　；

②该球心到球的截面的距离为d，小圆的半径r，球的半径R，则R2＝　d2＋r2　.

热身练习

1．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于(D)

A.  B．2

C．2  D．6

　 由三视图的正视图可知此三棱柱为底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，所以S侧＝3×2×1＝6.

2．(2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(C)

A．20π  B．24π

C．28π  D．32π

　 由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是2，底面半径是2，因此其母线长为4.下面是一个圆柱，圆柱的高是4，底面半径是2，因此该几何体的表面积是S＝π×22＋2π×2×4＋π×2×4＝28π，故选C.

3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(B)

A．6  B．9

C．12  D．18

　 由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3.

底面面积S＝×6×3＝9，

所以V＝Sh＝×9×3＝9.

4．(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(B)

A．1＋  B．2＋

C．1＋2   D．2

　 根据三视图还原几何体如图所示，

其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2××2×1＋2××()2＝2＋.

5．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(A)

A．12π  B.π

C．8π  D．4π

　 设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.

所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π，故选A.

 求简单几何体的表面积与体积

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

A．2＋  B．4＋

C．2＋2  D．5

　　 先将三视图还原为几何体，再求解表面积．

作出三棱锥的示意图如图，

在△ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.

在三棱锥S－ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝，AC＝BC＝.

所以S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB

＝×2×2＋×1×＋×1×＋×2×

＝2＋2.

C

(1)本题考查三棱锥的三视图和表面积．通过还原几何体考查空间想象能力，通过求解表面积考查运算求解能力．

(2)求几何体的体积和表面积，要紧扣公式中的基本量，注意量与量之间的转化．

(3)当几何体不是正棱柱、正棱锥和正棱台时，求侧面积，要注意判断侧面的形状，并对每一个侧面的面积分别求出后再相加．

1．(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为　　.

先根据三视图还原几何体，再利用体积公式计算．

由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，

所以该四棱柱的体积为V＝×1＝.

 求组合体的表面积与体积

(1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝

A．1  B．2

C．4  D．8

(2)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

A.  B.

C.  D.

　　 (1)由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，如右图所示：

圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，

其表面积为×4πr2＋πr2＋πr×2r＋2r×2r＝5πr2＋4r2＝16＋20π，

解得r＝2.

(2)由三视图得，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去四面体A－A1B1D1，如图所示．

设正方体的棱长为a，

则VA－A1B1D1＝×a3＝a3，

故剩余几何体的体积为a3－a3＝a3.

所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.

(1)B　(2)D

(1)求组合体体积的基本思路是通过分割、补形或采用间接法的手段，先将几何体变为一个或几个规则的，体积易求的几何体，再计算．

(2)空间几何体的表面积是空间几何体暴露在外的面积，求组合体的表面积，通常是采用“分割”或“补形”转化为常规的柱、锥、台、球等，先求出这些柱、锥、台、球的表面积，再通过求和或作差求得原几何体的表面积．

2．(1)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(A)

A．17π  B．18π

C．20π  D．28π

(2)(经典真题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)

A．16＋8π   B．8＋8π

C．16＋16π   D．8＋16π

(1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．

设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，

解得R＝2.

因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.

(2)原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)．

V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.

 球的有关计算

(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)

A．π  B.

C.  D.

设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，

球心O到圆柱底面圆心O′的距离d＝.

由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，

r，R，d满足R2＝r2＋d2，

所以r＝＝.

所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.

B

球的有关计算是全国卷高考的热点之一，处理这类问题，要掌握球的截面的两个性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；②球的半径R与截面圆的半径r及球心到截面的距离d满足R2＝r2＋d2.

3．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(B)

A．12  B．18

C．24  D．54

由等边△ABC的面积为9可得AB2＝9，

所以AB＝6，

所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.

设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.

所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，

所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用累加的方式求解，特别地，若为正棱柱(棱锥、棱台)则各侧面面积相等，可用乘法计算．

2．求几何体体积常用方法有公式法、割补法和求差法(即整体减去局部)．

3．解决球的内接和外切问题的关键是弄清楚几何体的哪一个几何量(线段长)“充当”了球的直径(或半径)的角色，如：球的内接正方体的对角线就是球的直径，球的外切正方体的棱长就是球的直径．为此通常作出轴截面，将空间问题转化为平面问题．在轴截面中，球心在对称图形的轴线上．

4．球的体积和表面积计算的关键在于求出半径，可用球的截面性质，借助题设给定的等量关系，建立关于球半径的方程来解题．