2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第49讲空间点、线、面的位置关系

第49讲　空间点、线、面的位置关系

1．了解平面的基本性质，理解“三个公理”的意义．

2．理解空间点、直线、平面的位置关系的定义．

3．能运用公理、定理和已获得的结论证明空间位置关系的简单命题．

知识梳理

1．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的　两点　在一个平面内，那么这条直线在此平面内．用符号语言表述为：若A，B∈l，且A，B∈α，则lα.

公理2：经过　不在同一条直线上　的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们　有且只有一条　过该点的公共直线．用符号语言表述为　P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l且P∈l　.

2．空间两条直线的位置关系

(1)空间两条直线的位置关系包括　平行、相交、异面　，其中异面直线是指不同在　任何　一个平面内的直线．

(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线　平行　.

(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角　相等或互补　.

3．空间中直线与平面的位置关系

4．平面与平面的位置关系

1．公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

2．异面直线的判定定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

3．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

热身练习

1．在下列命题中，不是公理的是(A)

A．平行于同一平面的两个平面互相平行

B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上有两点在同一平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

　 根据点、线、面位置关系的4个公理来判断，选项A是两平面平行的性质，B，C，D分别是公理2、公理1和公理3.

2．如果两条直线a，b没有公共点，那么a，b的位置关系是(D)

A．共面   B．平行

C．异面  D．平行或异面

　 平行和异面都没有公共点．

3．若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则a，c的位置关系是(D)

A．异面直线   B．相交直线

C．平行直线  D．以上都有可能

　 可画图帮助判断，得到a与c异面、相交、平行都有可能．

4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(B)

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

　 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；

l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；

当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；

l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．

5．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(A)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

　 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；

反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．

因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．

 点、线、面位置关系的判定

(经典真题)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

直接去判断每一个选择支是否正确，很抽象．可构造长方体模型，化抽象为直观进行判断．

画出满足题设条件的长方体模型，如图：

显然α⊥β，排除A；虽然α⊥β，但l∥β，排除B；

α与β相交，且交线平行于l，排除C，选D.

D

(1)对于线线、线面、面面的位置关系的判定，常常可构造长方体模型或正方体模型，化抽象为直观去判断．

(2)构造法实际上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，可避免因考虑不全面而导致解题错误．

1．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(D)

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

构造一个长方体模型，在长方体中判断它们的位置关系．

如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

记l1为DD1所在的直线，l2为DC所在的直线，l3为DA所在的直线，

若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时，l1∥l4，可排除选项A和C.

若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.

 判断空间两直线的位置关系

(2017·覃塘区校级月考)在下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有__________．(填上所有正确答案的序号)

①因为M，G为中点，可得到GM HN，

所以GH∥MN，所以GH与MN共面．

②④可利用结论：“平面内一点和平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”进行判定，也可采用反证法判定，得到GH与MN是异面直线．

③因为GMHN，所以GH与MN共面．

②④

(1)空间两条直线位置关系的判定，主要是异面、共面的判定．对于异面直线的判定可直接证明也可采用反证法，通过图形分析、运用反证法的思想是判断线面位置关系的常用方法．

(2)共面的情况主要是对平行与垂直这两种特殊位置关系的判定．对于平行的判定，常利用三角形(梯形)的中位线的性质、平行四边形的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对垂直关系的判断，常利用平面几何中特殊图形的特点及线面垂直的性质来解决．

2．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：

①GH与EF平行；  ②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；  ④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是　②③④　.

把正四面体的平面展开图还原，如图所示．

GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，

GH与MN成60°角，

由AF⊥DE，MN∥AF，所以DE⊥MN.

 平面基本性质的应用

在空间四边形ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.

(1)求证：G，E，F，H四点共面；

(2)求证：EF，GH，BD交于一点；

(3)若EF与GH相交于O，证明：B，D，O三点共线．

(1)连接EG，HF，因为E，G分别是BC，AB的中点，

所以GE∥AC，

又因为DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3，

所以HF∥AC，所以GE∥HF，故G，E，F，H四点共面．

(2)由(1)知G，E，F，H四点共面，

又EF与GH不平行，所以EF与GH必相交．

设EF∩GH＝O，由O∈EF，EF⊂平面BCD，

所以O∈平面BCD，同理O∈平面ABD，

所以O在平面ABD与平面BCD的交线BD上，

所以EF，GH，BD交于一点O.

(3)由(2)可知，O点在BD上，所以B，D，O三点共线．

(1)理解平面的基本性质，掌握其基本应用是解决“点、线共面，多点共线，多线共点”的关键．

(2)公理1是判断一条直线是否在平面内的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三点共线或三线共点的依据．

3．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别是FA，FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)证明：C，D，F，E四点共面．

(1)因为G，H分别是FA，FD的中点，

所以GH∥AD，GH＝AD，

又因为BC∥AD，BC＝AD，所以BC∥GH，BC＝GH，

所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)因为BE∥FA，BE＝FA，所以BE∥FG，BE＝FG，

所以四边形BGFE是平行四边形，所以BG∥EF.

又因为BG∥CH，所以EF∥CH.

所以C，H，F，E四点共面．

又D∈FH，FH⊂平面CHFE，所以D∈平面CHFE，

所以C，D，F，E四点共面．

1．空间点、线、面位置关系的判断，常常需要进行文字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用，特别要注意“构造法”的运用，通过构造长方体等模型，能化抽象为直观，快速得到判断．

2．判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

(2)反证法：即证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而得到两线异面．

3．证明点共线、线共点、点或线共面的基本方法：

(1)证明空间点共线问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出两点在某两个平面的交线上，再证明其他点既在第一个平面内，又在第二个平面内，从而说明它在两个平面的交线上．

(2)证明空间线共点问题．如证三线共点，可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后证另两条直线的交点在此直线上．

(3)证明空间几点共面问题．可先取三点(不共线的三点)确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内；证明空间几条直线共面问题．可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取适当的两条直线确定若干个平面，再证明这些平面重合．