2020高考数学文科大一轮复习导学案：第一章集合及简易逻辑第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

知识点一  命题及四种命题 1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．1．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是(　D　)A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确解析：原命题可以改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”．其逆命题为“若函数不是周期函数，则函数是单调函数”，故选项A不正确；其否命题为“若函数不是单调函数，则函数是周期函数”，故选项B不正确；其逆否命题为“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，故选项C不正确．2．“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为若ab不是偶数，则a，b不都是偶数．解析：“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”．3．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是3.解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.知识点二  充分条件与必要条件 1．若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充分必要条件，q也是p的充分必要条件．2．若A、B为两个集合，满足AB，则A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件；若A＝B，则A是B的充分必要条件．4．(2018·天津卷)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(　A　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2.故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件，故选A.5．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的(　C　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sinA>sinB，则>，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，所以“A>B”是“sinA>sinB”成立的充要条件．1．区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．2．充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．3．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．　　　　　　　　　　　　　　考向一  四种命题及其关系 【例1】　(1)已知x∈R，命题“若x2>0，则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是(　　)A．0  B．1C．2  D．3(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是(　　)A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”【解析】　(1)命题“若x2>0，则x>0”的逆命题是“若x>0，则x2>0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上三个命题中真命题的个数是2.故选C.(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，所以C不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，所以D不正确．故选B.【答案】　(1)C　(2)B (1)四种命题在书写时，要注意词语的否定形式，如“都是”的否定应为“不都是”，“大于”的否定为“不大于”等．(2)命题真假的判断方法①联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．②利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．   (1)命题“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题为(　D　)A．若x2＝4，则x≠2且x≠－2B．若x2≠4，则x＝2且x＝－2C．若x2≠4，则x＝2或x＝－2D．若x2＝4，则x＝2或x＝－2(2)下列命题的逆命题为真命题的是(　B　)A．若x>2，则(x－2)(x＋1)>0B．若x2＋y2≥4，则xy＝2C．若x＋y＝2，则xy≤1D．若a≥b，则ac2≥bc2解析：(1)“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题是“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”．故选D.(2)选项A，“若x>2，则(x－2)(x＋1)>0”的逆命题为“若(x－2)(x＋1)>0，则x>2”，因为由(x－2)(x＋1)>0得到x>2或x<－1，所以是假命题；选项B，“若x2＋y2≥4，则xy＝2”的逆命题为“若xy＝2，则x2＋y2≥4”是真命题；选项C，“若x＋y＝2，则xy≤1”的逆命题为“若xy≤1，则x＋y＝2”；因为x＝2，y＝，满足xy≤1，但不满足x＋y＝2，所以是假命题；选项D，“若a≥b，则ac2≥bc2”的逆命题为“若ac2≥bc2，则a≥b”，因为若c＝0，a＝1，b＝2，满足ac2≥bc2，但不满足a≥b，所以是假命题．故选B.考向二  充分条件与必要条件的判断 【例2】　(1)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的(　　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件(3)若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的(　　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件【解析】　(1)由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)·(q2＋2)＝0，解得q＝±1，所以“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选C.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1.因为綈q⇒綈p，但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.(3)化简集合A＝{x|0<x<1}，若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅，反之，若A∩B≠∅，则m>0，因(1，＋∞)(0，＋∞)，故选A.【答案】　(1)C　(2)A　(3)A　　充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．   (1)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　C　)A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件(2)(2019·山东日照联考)“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的(　A　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件(3)已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的(　B　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件解析：(1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立．故选C.(2)当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.(3)因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈p綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．考向三  充分条件、必要条件的应用 【例3】　(1)若“x>2m2－3”是“－1<x<4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)A．[－1,1]  B．[－1,0]C．[1,2]  D．[－1,2](2)已知条件p：≤－1，条件q：x2＋x<a2－a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)A.  B.C．[－1,2]  D.∪[2，＋∞)【解析】　(1)∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.故选A.(2)由≤－1，解得－3≤x<1；由x2＋x<a2－a，得x2＋x－a2＋a<0.由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知p是q的必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集．设f(x)＝x2＋x－a2＋a，其大致图象如图，则所以解得－1≤a≤2.故选C.【答案】　(1)A　(2)C1求解充分、必要条件的应用问题时，一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式组求解.2求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误. (1)下面四个条件中，使a>b成立的必要而不充分条件是(　B　)A．a－1>b  B．a＋1>bC．|a|>|b|  D．a3>b3(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(　C　)A．－1≤k<3B．－1≤k≤3C．0<k<3D．k<－1或k>3解析：(1)“a>b”不能推出“a－1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a＋1>b”，但“a＋1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意．故选B.(2)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解得k∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是“0<k<3”．